極限, 數列, 关于与, 標題相近或相同的条目, 請見, 极限, 極限, 英語, limit, 為某些數列才擁有的特殊值, 當數列的下標越來越大的時候, 數列的值也就越接近那個特殊值, 目录, 定義, 實數數列的極限, 基本性質, 唯一性, 有界性, 保序性, 四則運算定理, 審斂法, 柯西數列, 参考文献列表, 參看定義, 编辑取一复数數列, displaystyle, mathbb, mathbb, 若有一複數, displaystyle, mathbb, 使得, 对于任意的正实数, displaystyle,. 关于与 極限 數列 標題相近或相同的条目 請見 极限 極限 英語 Limit 為某些數列才擁有的特殊值 當數列的下標越來越大的時候 數列的值也就越接近那個特殊值 目录 1 定義 1 1 實數數列的極限 2 基本性質 2 1 唯一性 2 2 有界性 2 3 保序性 3 四則運算定理 4 審斂法 5 柯西數列 6 参考文献列表 7 參看定義 编辑取一复数數列 z i C i N displaystyle z i in mathbb C i in mathbb N 若有一複數 z C displaystyle z in mathbb C 使得 对于任意的正实数 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在自然数 n N displaystyle n in mathbb N 使得任意的自然数 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt n displaystyle i gt n 則 z i z lt ϵ displaystyle z i z lt epsilon 用正式的邏輯語言来表示即 ϵ gt 0 n N n N i gt n z i z lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists n in mathbb N forall n in mathbb N i gt n Rightarrow z i z lt epsilon 则称数列 z i C i N displaystyle z i in mathbb C i in mathbb N 收敛于 L displaystyle L convergent to L displaystyle L 並记作 lim i z i z displaystyle lim i to infty z i z 如果不存在這樣的複數 z C displaystyle z in mathbb C 則稱 z i C i N displaystyle z i in mathbb C i in mathbb N 是發散的 divergent 實數數列的極限 编辑 從上面的定義可以證明 對實數數列 z i R i N displaystyle z i in mathbb R i in mathbb N 來說 若 lim i z i z displaystyle lim i to infty z i z 則其極限 z displaystyle z 一定為实数 因為假設 z displaystyle z 的虛部 Im z 0 displaystyle operatorname Im z neq 0 的話 則對上面的定義取 ϵ Im z gt 0 displaystyle epsilon operatorname Im z gt 0 的話 會存在 n N displaystyle n in mathbb N 使得任意的 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt n displaystyle i gt n 有 z i 2 Im z 2 lt Im z displaystyle sqrt z i 2 operatorname Im z 2 lt operatorname Im z 這是矛盾的 所以根據反證法 Im z 0 displaystyle operatorname Im z 0 即 z R displaystyle z in mathbb R 基本性質 编辑唯一性 编辑 定理 若數列 z i C i N displaystyle z i in mathbb C i in mathbb N 的極限存在 則極限是唯一的 1 29 證明 設數列 z i C i N displaystyle z i in mathbb C i in mathbb N 有兩個不相等的極限值z 1 z 2 C displaystyle z 1 z 2 in mathbb C 則根據假設 對任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 n 1 n 2 N displaystyle n 1 n 2 in mathbb N 使任意 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt max n 1 n 2 displaystyle i gt max n 1 n 2 就有 z i z 1 lt ϵ 2 displaystyle z i z 1 lt frac epsilon 2 z i z 2 lt ϵ 2 displaystyle z i z 2 lt frac epsilon 2 這樣根據三角不等式 對任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 只要自然數 i gt n displaystyle i gt n 就有則 z 1 z 2 z 1 z i z 2 z i z 1 z i z 2 z i lt ϵ displaystyle z 1 z 2 z 1 z i z 2 z i leq z 1 z i z 2 z i lt epsilon 這樣的話 假設 z 1 z 2 gt 0 displaystyle z 1 z 2 gt 0 會得到 z 1 z 2 lt z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 lt z 1 z 2 這樣是矛盾的 故根據反證法 z 1 z 2 0 displaystyle z 1 z 2 0 也就是 z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 故極限唯一 displaystyle Box 有界性 编辑 定理 若數列 x i R i N displaystyle x i in mathbb R i in mathbb N 有極限 則存在正实数 M gt 0 displaystyle M gt 0 使得對所有的自然数 i N displaystyle i in mathbb N 都有 x i M displaystyle x i leq M 1 29 30 即 x i R i N displaystyle x i in mathbb R i in mathbb N 有極限則必為有界數列 證明 因為 x i R i N displaystyle x i in mathbb R i in mathbb N 有極限 假設有实数 L R displaystyle L in mathbb R 滿足 lim n x n L displaystyle lim n to infty x n L 這樣的話 對於 ϵ 1 displaystyle epsilon 1 存在自然数 n N displaystyle n in mathbb N 使得任意的自然数 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt n displaystyle i gt n 則 x i L lt ϵ 1 displaystyle x i L lt epsilon 1 從而 x n x n L L x n L L lt 1 L displaystyle x n x n L L leq x n L L lt 1 L 這樣的話 令 M max x 1 x 2 x n 1 L displaystyle M max left x 1 x 2 cdots x n 1 L right 就會有 x i M displaystyle x i leq M 故得証 displaystyle Box 根據实质条件的意義 上面的定理等價於 如果一個實數數列無界 則這個實數數列一定發散 1 30注意有界數列不一定有極限 如數列 1 0 1 0 1 1 n 2 displaystyle 1 0 1 0 cdots frac 1 1 n 2 cdots 是一個有界數列 但沒有極限 但是當數列有界 存在一個遞增或是遞減的子數列的話 則可以證明 數列存在極限 保序性 编辑 定理 有實數數列 x i R i N displaystyle x i in mathbb R i in mathbb N 和 y i R i N displaystyle y i in mathbb R i in mathbb N 若 lim n x n a displaystyle lim n to infty x n a lim n y n b displaystyle lim n to infty y n b 則 a gt b displaystyle a gt b 等價於 存在n N displaystyle n in mathbb N 使任何 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt n displaystyle i gt n 就有 x i gt y i displaystyle x i gt y i 1 30 證明 左至右 取ϵ a b 2 gt 0 displaystyle epsilon frac a b 2 gt 0 則由前提假設 存在 n 1 n 2 N displaystyle n 1 n 2 in mathbb N 使任何 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt max n 1 n 2 displaystyle i gt max n 1 n 2 就有 x i a lt a b 2 displaystyle x i a lt frac a b 2 y i b lt a b 2 displaystyle y i b lt frac a b 2 从而 y n lt b a b 2 a b 2 displaystyle y n lt b frac a b 2 frac a b 2 故 y n lt a b 2 lt x n displaystyle y n lt frac a b 2 lt x n 這樣取 n max n 1 n 2 displaystyle n max n 1 n 2 左至右就得證 displaystyle Box 右至左 由前提假設 對任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 n 1 n 2 N displaystyle n 1 n 2 in mathbb N 使任何 i N displaystyle i in mathbb N 只要 i gt max n 1 n 2 n displaystyle i gt max n 1 n 2 n 就有 ϵ a lt x i lt ϵ a displaystyle epsilon a lt x i lt epsilon a ϵ b lt y i lt ϵ b displaystyle epsilon b lt y i lt epsilon b x i gt y i displaystyle x i gt y i 从而 0 lt x i y i lt a b displaystyle 0 lt x i y i lt a b 故得證 displaystyle Box 四則運算定理 编辑設lim n x n a displaystyle lim n to infty x n a lim n y n b displaystyle lim n to infty y n b 則 lim n x n y n a b displaystyle lim n to infty left x n pm y n right a pm b lim n x n y n a b displaystyle lim n to infty x n cdot y n a cdot b 若b 0 y n 0 displaystyle b neq 0 y n neq 0 則lim n x n y n a b displaystyle lim n to infty frac x n y n frac a b 審斂法 编辑其中一個判斷數列是否收斂的定理 称为单调收敛定理 和實數完備性相關 單調有界數列必收斂 即是說 有上界的單調遞增數列 或是有下界的單調遞減數列 必然收斂 柯西數列 编辑主条目 柯西序列参考文献列表 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 华东师范大学数学系 数学分析 第四版 上册 北京 高等教育出版社 2010年7月第4版 ISBN 978 7 04 029566 5 请检查 date 中的日期值 帮助 參看 编辑级数 函数极限 取自 https zh wikipedia org w index php title 極限 數列 amp oldid 76953397, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,