数列

数列（英語：Number sequence）是由数字組成的序列，也就是以正整數系為定義域，值域包含於某數系的函数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究，而级数本身更是一種特殊的数列。

数列是特殊的序列，全部由数字组成。序列则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成，但有的微积分教材會用序列一词来称呼数列，读者需要自己留意。

正式定義

考慮到最一般的數為複數，可以作如下的定義：^[1]

一個 ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$  的函數被稱為無窮數列，可記為 ${\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  、 ${\displaystyle {\left\langle a_{i}\right\rangle }_{i\in \mathbb {N} }}$  或 ${\displaystyle {\left(a_{i}\right)}_{i\in \mathbb {N} }}$  ，而 ${\displaystyle a(i)}$  會被簡記為 ${\displaystyle a_{i}}$  。

若 ${\displaystyle I_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}}$  ，則一個 ${\displaystyle a:I_{n}\to \mathbb {C} }$  的函數被稱為有限數列，可記為 ${\displaystyle {\left\{a_{k}\right\}}_{k=1}^{n}}$  、 ${\displaystyle {\left\langle a_{k}\right\rangle }_{k=1}^{n}}$  或 ${\displaystyle {\left(a_{k}\right)}_{k=1}^{n}}$  。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle }$ 

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。${\displaystyle a_{1}}$  为数列的「第一项」、${\displaystyle a_{2}}$  为「第二项」，以此類推。${\displaystyle n}$  被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}}$  ，換句話說，把 ${\displaystyle 0}$  加入數列的定義域，並以第零項 ${\displaystyle a_{0}}$  作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 ${\displaystyle 0}$  踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 ${\displaystyle a_{1}}$  。

數列中各個項的和稱為「級數」，換句話說

對於 ${\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  ，根據集合論的公理和數學歸納法，存在唯一的無窮數列 ${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  滿足：

• ${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$ 
• 對所有的 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  有 ${\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{n}}$ 

${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  稱為 ${\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  的級數。

一般會將 ${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  寫為 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}}$  ，甚至更直觀的 ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$  來凸顯級數源於＂求和＂的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函数級數（英语：function series）。

分類

單調性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≥ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为「递增数列」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「嚴格遞增數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≤ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为「递减数列」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「嚴格遞减數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 = a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为「常数数列」。

有限性

• 若數列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}}$  的项数有限，則 ⟨a_k⟩ 为「有限数列」。
• 若數列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }}$  的项数无限，則 ⟨a_k⟩ 为「无穷数列」。

有界性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，M ≤ a_n ≤ N ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为「有界数列」。 M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。
• 若對數列 ⟨a_k⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，则称数列 ⟨a_k⟩ 为「無界数列」。

極限與數列

一個關於數列很重要的性質是收斂，如果一個數列收斂，它收斂到的東西便是它的極限值，一個數列收斂，那它便是收斂數列，否則為發散數列。

簡單的說，一個數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近${\displaystyle L}$ (我們稱為極限值)，但是它們仍然任意得很靠近極限值${\displaystyle L}$ ，而不是真的等於。

舉例來說:當 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$  時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 ${\displaystyle a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$ 

收斂正式定義

我們說一個實數的數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 收斂到實數${\displaystyle L}$ ，如果有對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$  ，存在一個正整數${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得對所有的${\displaystyle n\geq N}$ ，有${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$ 

重要的特殊数列

• 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列${\displaystyle 1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots }$ 。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于${\displaystyle 2,9999}$ 与${\displaystyle 9997}$ 的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为${\displaystyle d}$ ，但是${\displaystyle d}$ 可为0。

若設首項${\displaystyle a_{1}=a}$ ，則等差數列的通項公式為${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ 。

• 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

• 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列${\displaystyle 2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots }$ 。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，${\displaystyle 2^{198}}$ 与${\displaystyle 2^{197}}$ 的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为${\displaystyle r}$ 。

若設首項${\displaystyle a_{1}=a}$ ，則等比數列的通項公式為${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$ 。

• 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

以數學符號表示，即${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}$ ，且對於${\displaystyle n\geq 3}$ ，${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$ 。

斐波那契数列的通项公式為${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$ 。

• 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

• 正负相间：${\displaystyle (-1)^{n}}$ 或${\displaystyle (-1)^{n-1}}$ 

• 隔项有零：${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]}$ 或${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}$ 

数列的求和

主条目：求和符号

通常对第1项到第${\displaystyle n}$ 项求和，记为${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数${\displaystyle n}$ 的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通项公式的求解

主条目：递回关系式

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。没有一种解法是通用的。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加

给定数列差${\displaystyle d_{n}}$ 时逐差全加，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$ ，${\displaystyle d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n}$ ,求${\displaystyle a_{n}}$ 

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1}$ 

逐商全乘

给定数列比${\displaystyle r_{n}}$ 时逐差全乘，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$ ，${\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}}$ ，求${\displaystyle a_{n}}$ 

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n}$ 

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}}$ 可知${\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}$ 

把${\displaystyle S_{n}}$ 看成一个数列，可以先对${\displaystyle S_{n}}$ 进行求解，然后得出${\displaystyle a_{n}}$ 。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$ ，其中${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle C}$ 都是常数，求${\displaystyle a_{n}}$ 。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

• 如果${\displaystyle A\neq -B}$ ，那么这个式子就可以化成下面的形式：

${\displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)}$ 。
求出${\displaystyle k}$ ，那么数列${\displaystyle {a_{n}+k}}$ 就是一个等比数列，从而求出通项公式。

• 如果${\displaystyle A=-B}$ ，这个递推关系就不能化为等比数列。如果${\displaystyle A=-B}$ ，那么它就是等差数列。另外，当${\displaystyle A=B}$ 的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
• 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$ 
${\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0}$ 
两边相减就有：${\displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0}$ ，如此就化成了一个等比数列。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0}$ ,其中${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle C}$ 、${\displaystyle D}$ 都为常数，求${\displaystyle a_{n}}$ ；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
${\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D}$ 
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列${\displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}}$ 的通项公式，然后求出${\displaystyle a_{n}}$ 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

在其他數學領域的使用

拓樸

分析

線性代數

抽象代數

参见

• 整数数列线上大全 (OEIS)

参考资料

1. 谭杰锋; 郑爱武. 高等数学. 清华大学出版社; 北京交通大學出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中国大陆））. 。