等差数列, 又名算术数列, 英語, arithmetic, sequence, 是数列的一种, 在中, 任何相邻两项的差相等, 该差值称为公差, common, difference, 例如数列, 就是一个, 在这个数列中, 从第二项起, 每项与其前一项之公差都相等, 目录, 性質, 等差數列和, 参见, 注释, 参考文献性質, 编辑如果一个的首项記作, 公差記作, 那么该第, 的一般項为, displaystyle, 換句話說, 任意一個, 都可以寫成, displaystyle, cdots, 在一個等差數列中. 等差数列 又名算术数列 英語 Arithmetic sequence 註 1 是数列的一种 在等差数列中 任何相邻两项的差相等 该差值称为公差 common difference 例如数列 3 5 7 9 11 13 就是一个等差数列 在这个数列中 从第二项起 每项与其前一项之公差都相等 目录 1 性質 2 等差數列和 3 等差数列积 4 参见 5 注释 6 参考文献性質 编辑如果一个等差数列的首项記作 a1 公差記作 d 那么该等差数列第 n 项 an 的一般項为 a n a 1 n 1 d displaystyle a n a 1 n 1 d 換句話說 任意一個等差数列 an 都可以寫成 a a d a 2 d a n 1 d displaystyle a a d a 2d cdots a n 1 d 在一個等差數列中 給定任意兩相連項 an 1 和 an 可知公差 d a n 1 a n displaystyle d a n 1 a n 給定任意兩項 am 和 an 則有公差 d a m a n m n displaystyle d frac a m a n m n 此外 在一個等差数列中 選取某一項 該項的前一項與後一項之和 為原來該項的兩倍 舉例來說 a1 a3 2a2 更一般地說 有 a n 1 a n 1 2 a n displaystyle a n 1 a n 1 2a n 證明如下 a n 1 a n 1 a n 2 d a n d 2 a 2 n 2 d 2 a n 1 d 2 a n displaystyle begin aligned a n 1 a n 1 amp a n 2 d a nd amp 2a 2n 2 d amp 2 a n 1 d amp 2a n end aligned 證畢 從另一個角度看 等差數列中的任意一項 是其前一項和後一項的算術平均 a n a n 1 a n 1 2 displaystyle a n frac a n 1 a n 1 2 此結果從上面直接可得 如果有正整數 m n p q 使得 m n p q displaystyle m n p q 那么则有 a m a n a p a q displaystyle a m a n a p a q 證明如下 a m a n a m 1 d a n 1 d 2 a m n 2 d 2 a p q 2 d a p 1 d a q 1 d a p a q displaystyle begin aligned a m a n amp a m 1 d a n 1 d amp 2a m n 2 d amp 2a p q 2 d amp a p 1 d a q 1 d amp a p a q end aligned 由此可將上面的性質一般化成 a n k a n k 2 a n displaystyle a n k a n k 2a n a n a n k a n k 2 displaystyle a n frac a n k a n k 2 其中 k 是一個小於 n 的整數 給定一個等差數列 a n displaystyle a n 則有 b a n displaystyle b a n 是一個等差數列 b a n displaystyle b cdot a n 是一個等差數列 b a n displaystyle b a n 是一個等比數列 b a n displaystyle frac b a n 是一個等諧數列 從等差數列的一般項可知 任意一個可以寫成 a n p q n displaystyle a n p qn 形成的數列 都是一個等差數列 其中公差 d q 首項 a p q 等差數列和 编辑一個等差數列的首 n 項之和 稱為等差数列和 sum of arithmetic sequence 或算術級數 arithmetic series 記作 Sn 舉例來說 等差數列 1 3 5 7 的和是 1 3 5 7 16 等差數列求和的公式如下 S n n 2 a a n n 2 2 a n 1 d a n d n n 1 2 displaystyle begin aligned S n amp frac n 2 a a n amp frac n 2 2a n 1 d amp an d cdot frac n n 1 2 end aligned 等差数列和在中文教科書中常表达为 一个等差数列的和 等于其首项与末项的和 乘以项数除以2 dd 公式證明如下 将等差數列和写作以下两种形式 S n a a d a 2 d a n 2 d a n 1 d displaystyle S n a a d a 2d dots a n 2 d a n 1 d S n a n n 1 d a n n 2 d a n 2 d a n d a n displaystyle S n a n n 1 d a n n 2 d dots a n 2d a n d a n 将两公式相加来消掉公差 d 可得 2 S n n a a n displaystyle 2S n n a a n 整理可得第一種形式 代入 a n a n 1 d displaystyle a n a n 1 d 可得第二種及第三種形式 從上面的第三種形式展開可見 任意一個可以寫成 S n p n q n 2 displaystyle S n pn qn 2 形成的數列和 其原來數列都是一個等差數列 其中公差 d 2q 首項 a p q 等差数列积 编辑一個等差數列的首 n 項之積 稱為等差数列積 product of arithmetic sequence 記作 Pn 舉例來說 等差數列 1 3 5 7 的積是 1 3 5 7 105 等差数列積的公式较為复杂 須以G函數表示 P n d n G a d n G a d displaystyle P n d n cdot frac Gamma frac a d n Gamma frac a d 證明如下 P n a a d a 2 d a n 1 d d n a d a d 1 a d 2 a d n 1 d n a d n d n G a d n G a d displaystyle begin aligned P n amp a cdot a d cdot a 2d cdot cdots cdot a n 1 d amp d n cdot left frac a d right cdot left frac a d 1 right cdot left frac a d 2 right cdot cdots cdot left frac a d n 1 right amp d n cdot left frac a d right overline n amp d n cdot frac Gamma frac a d n Gamma frac a d end aligned 這裡的 x n displaystyle x overline n 为 x 的 n 次上升阶乘幂 例子如 1 1 3 1 1 2 1 3 1 displaystyle 1 1 overline 3 1 1 times 2 1 times 3 1 使用上面的例子 對於數列 1 3 5 7 P 4 2 4 G 1 2 4 G 1 2 16 11 6317 1 77245 105 displaystyle begin aligned P 4 amp 2 4 cdot frac Gamma frac 1 2 4 Gamma frac 1 2 amp 16 cdot frac 11 6317 dots 1 77245 dots amp 105 end aligned 結果相等 参见 编辑序列 數列 級數 算術平均 等比數列 等諧數列注释 编辑 也有人使用arithmetic progression参考文献 编辑Bhardwaj S Abiy T Kulkarni O et al Geometric Progressions From Brilliant https brilliant org wiki geometric progressions 页面存档备份 存于互联网档案馆 Weisstein Eric W Geometric Sequence From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com GeometricSequence html 页面存档备份 存于互联网档案馆 Weisstein Eric W Geometric Series From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com GeometricSeries html 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 等差数列 amp oldid 75290438, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,