等諧數列, 等諧数列, 又名調和数列, 英文, harmonic, sequence, harmonic, progression, 是数列的一种, 在等諧数列中, 任何相邻两项倒數的差相等, 该差值的倒數称为公諧差, common, harmonic, difference, 例如数列, 就是一个等諧数列, 在这个数列中, 从第二项起, 每项与其前一项之公諧差都等于, 目录, 性質, 等諧数列和, 等諧数列积, 参见, 参考文献性質, 编辑如果一个等諧数列的首项記作, 公諧差記作, 那么该等諧数列第, 的一般項为. 等諧数列 又名調和数列 英文 harmonic sequence 或 harmonic progression 是数列的一种 在等諧数列中 任何相邻两项倒數的差相等 该差值的倒數称为公諧差 common harmonic difference 例如数列 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 就是一个等諧数列 在这个数列中 从第二项起 每项与其前一项之公諧差都等于 1 2 目录 1 性質 2 等諧数列和 3 等諧数列积 4 参见 5 参考文献性質 编辑如果一个等諧数列的首项記作 a 公諧差記作 h 那么该等諧数列第 n 项 an 的一般項为 a n 1 1 a n 1 h displaystyle a n frac 1 frac 1 a frac n 1 h 換句話說 任意一個等諧数列 an 都可以寫成 a 1 1 a 1 h 1 1 a 2 h 1 1 a n 1 h displaystyle a frac 1 frac 1 a frac 1 h frac 1 frac 1 a frac 2 h cdots frac 1 frac 1 a frac n 1 h 在一個等諧數列中 給定任意兩相連項 an 1 和 an 可知公諧差 h 1 1 a n 1 1 a n displaystyle h frac 1 frac 1 a n 1 frac 1 a n 給定任意兩項 am 和 an 則有公諧差 h m n 1 a m 1 a n displaystyle h frac m n frac 1 a m frac 1 a n 此外 在一個等諧数列中 選取某一項 該項的前一項與後一項之倒數和 為原來該項倒數的兩倍 舉例來說 1 a 1 1 a 3 2 a 2 displaystyle frac 1 a 1 frac 1 a 3 frac 2 a 2 更一般地說 有 1 a n 1 1 a n 1 2 a n displaystyle frac 1 a n 1 frac 1 a n 1 frac 2 a n 證明如下 1 a n 1 1 a n 1 1 a n 2 h 1 a n h 2 a 2 n 2 h 2 1 a n 1 h 2 a n displaystyle begin aligned frac 1 a n 1 frac 1 a n 1 amp left frac 1 a frac n 2 h right left frac 1 a frac n h right amp frac 2 a frac 2n 2 h amp 2 left frac 1 a frac n 1 h right amp frac 2 a n end aligned 證畢 從另一個角度看 等諧數列中的任意一項 是其前一項和後一項的調和平均 a n 2 1 a n 1 1 a n 1 displaystyle a n frac 2 frac 1 a n 1 frac 1 a n 1 此結果從上面直接可得 如果有正整數 m n p q 使得 m n p q displaystyle m n p q 那么则有 1 a m 1 a n 1 a p 1 a q displaystyle frac 1 a m frac 1 a n frac 1 a p frac 1 a q 證明如下 1 a m 1 a n 1 a m 1 h 1 a n 1 h 2 a m n 2 h 2 a p q 2 h 1 a p 1 h 1 a q 1 h 1 a p 1 a q displaystyle begin aligned frac 1 a m frac 1 a n amp left frac 1 a frac m 1 h right left frac 1 a frac n 1 h right amp frac 2 a frac m n 2 h amp frac 2 a frac p q 2 h amp left frac 1 a frac p 1 h right left frac 1 a frac q 1 h right amp frac 1 a p frac 1 a q end aligned 由此可將上面的性質一般化成 1 a n k 1 a n k 2 a n displaystyle frac 1 a n k frac 1 a n k frac 2 a n a n 2 1 a n k 1 a n k displaystyle a n frac 2 frac 1 a n k frac 1 a n k 其中 k 是一個小於 n 的正整數 給定一個等諧數列 a n displaystyle a n 則有 b a n displaystyle b cdot a n 是一個等諧數列 b a n displaystyle frac b a n 是一個等差數列 等諧数列和 编辑一個等諧數列的首 n 項之和 稱為等諧数列和 sum of harmonic sequence 或調和級數 harmonic series 記作 Sn 舉例來說 等諧數列 1 3 1 5 1 7 1 9 的和是 1 3 1 5 1 7 1 9 248 315 等諧數列並沒有簡單的求和公式 但使用以下反常積分 可對數列和以數值積分作估算 S n a 0 1 1 x a h n 1 x a h d x displaystyle S n a int 0 1 left frac 1 x frac a h cdot n 1 x frac a h right mathrm d x 公式證明如下 S n a 1 1 a 1 h 1 1 a 2 h 1 1 a n 1 h a a 1 a h a 1 2 a h a 1 n 1 a h a 1 1 a h 1 1 2 a h 1 1 n 1 a h 1 a x x a h 1 a h 1 x 2 a h 1 2 a h 1 x n 1 a h 1 n 1 a h 1 x 0 x 1 a 0 1 1 x a h x 2 a h x n 1 a h d x a 0 1 1 x a h n 1 x a h d x displaystyle begin aligned S n amp a frac 1 frac 1 a frac 1 h frac 1 frac 1 a frac 2 h cdots frac 1 frac 1 a frac n 1 h amp a frac a 1 frac a h frac a 1 frac 2a h cdots frac a 1 frac n 1 a h amp a left 1 frac 1 frac a h 1 frac 1 frac 2a h 1 cdots frac 1 frac n 1 a h 1 right amp a left x frac x frac a h 1 frac a h 1 frac x frac 2a h 1 frac 2a h 1 cdots frac x frac n 1 a h 1 frac n 1 a h 1 right x 0 x 1 amp a int 0 1 left 1 x frac a h x frac 2a h cdots x frac n 1 a h right mathrm d x amp a int 0 1 left frac 1 x frac a h cdot n 1 x frac a h right mathrm d x end aligned 最後一步 使用了等比數列的求和公式 使用上面的例子 對於數列 1 3 1 5 1 7 1 9 S 4 1 3 0 1 1 x 2 3 4 1 x 2 3 d x 1 3 0 1 1 x 8 3 1 x 2 3 d x 0 7873 displaystyle begin aligned S 4 amp frac 1 3 int 0 1 left frac 1 x frac 2 3 cdot 4 1 x frac 2 3 right mathrm d x amp frac 1 3 int 0 1 left frac 1 x frac 8 3 1 x frac 2 3 right mathrm d x amp approx 0 7873 end aligned 結果相等 從這公式中容易看出 等諧級數是發散的 等諧数列积 编辑一個等諧數列的首 n 項之積 稱為等諧数列積 product of harmonic sequence 記作 Pn 舉例來說 等諧數列 1 3 1 5 1 7 1 9 的積是 1 3 1 5 1 7 1 9 1 945 等諧数列積的公式可以G函數表示 P n h n G h a G h a n displaystyle P n h n cdot frac Gamma frac h a Gamma frac h a n 證明如下 P n a 1 1 a 1 h 1 1 a 2 h 1 1 a n 1 h 1 1 h n G h a n G h a h n G h a G h a n displaystyle begin aligned P n amp a cdot frac 1 frac 1 a frac 1 h cdot frac 1 frac 1 a frac 2 h cdot cdots cdot frac 1 frac 1 a frac n 1 h amp frac 1 frac 1 h n cdot frac Gamma frac h a n Gamma frac h a amp h n cdot frac Gamma frac h a Gamma frac h a n end aligned 這裡使用了等差數列的求積公式 使用上面的例子 對於數列 1 3 1 5 1 7 1 9 P 4 1 2 4 G 3 2 G 3 2 4 1 16 0 88622 52 342 1 945 displaystyle begin aligned P 4 amp frac 1 2 4 cdot frac Gamma frac 3 2 Gamma frac 3 2 4 amp frac 1 16 cdot frac 0 88622 dots 52 342 dots amp frac 1 945 end aligned 結果相等 参见 编辑序列 數列 級數 調和級數 調和平均 等差數列 等比數列参考文献 编辑Weisstein Eric W Harmonic Series From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com HarmonicSeries html 页面存档备份 存于互联网档案馆 Yadav A Pi H G Mukhopadhyay S et al Harmonic Progressions From Brilliant https brilliant org wiki harmonic progression 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 等諧數列 amp oldid 70801629, 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