Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.
十月 05, 2023
线性微分方程, 英語, linear, differential, equation, 是数学中常见的一类微分方程, 指以下形式的微分方程, displaystyle, mathcal, qquad, ldots, 其中方程左侧的微分算子l, displaystyle, mathcal, 是线性算子, 是要解的未知函数, 方程的右侧是一个已知函数, 如果f, 那么方程, 的解的线性组合仍然是解, 所有的解构成一个向量空间, 称为解空间, 这样的方程称为齐次, 当f, 不是零函数时, 所有的解构成一个仿射空间, 由对. 线性微分方程 英語 Linear differential equation 是数学中常见的一类微分方程 指以下形式的微分方程 L y f displaystyle mathcal L y f qquad ldots 其中方程左侧的微分算子L displaystyle mathcal L 是线性算子 y 是要解的未知函数 方程的右侧是一个已知函数 如果f x 0 那么方程 的解的线性组合仍然是解 所有的解构成一个向量空间 称为解空间 这样的方程称为齐次线性微分方程 当f 不是零函数时 所有的解构成一个仿射空间 由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到 这样的方程称为非齐次线性微分方程 线性微分方程可以是常微分方程 也可以是偏微分方程 目录 1 简介 2 常系数齐次线性微分方程 2 1 例子 3 常系数非齐次线性微分方程 3 1 待定系数法 3 2 常数变易法 4 变系数线性微分方程 4 1 例子 5 拉普拉斯变换解微分方程 6 参见 7 参考文献简介 编辑线性微分方程是一类特殊的微分方程 一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间 因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质 线性微分方程的普遍形式为 L y f displaystyle mathcal L y f qquad ldots nbsp 其中的L displaystyle mathcal L nbsp 是一个线性的微分算子 也就是说 设有两个函数y 1 displaystyle y 1 nbsp 和y 2 displaystyle y 2 nbsp 以及两个常数l 1 displaystyle lambda 1 nbsp 和l 2 displaystyle lambda 2 nbsp 那么 L l 1 y 1 l 2 y 2 l 1 L y 1 l 2 L y 2 displaystyle mathcal L lambda 1 y 1 lambda 2 y 2 lambda 1 mathcal L y 1 lambda 2 mathcal L y 2 nbsp 如果f 是零函数 那么给定若干个方程 的解函数 y 1 y 2 y m displaystyle y 1 y 2 cdots y m nbsp 以及同样多的常数系数 l 1 l 2 l m displaystyle lambda 1 lambda 2 cdots lambda m nbsp 线性组合l 1 y 1 l 2 y 2 l m y m displaystyle lambda 1 y 1 lambda 2 y 2 cdots lambda m y m nbsp 仍然是方程 的解函数 这说明所有方程 的解函数构成一个线性空间V 称为方程的解空间 如果f 不是零函数 那么考虑相应的齐次线性微分方程 L y 0 displaystyle mathcal L y 0 qquad ldots nbsp 设y s displaystyle y s nbsp 是方程 的一个解函数 y displaystyle y nbsp 方程 的任意一个解函数 则它们的和y s y displaystyle y s y nbsp 仍然是 的解函数 另一方面 给定方程 的两个解函数 y 1 s displaystyle y 1 s nbsp 和y 2 s displaystyle y 2 s nbsp 则它们的差y 1 s y 2 s displaystyle y 1 s y 2 s nbsp 会是方程 的解函数 这说明方程 的所有解函数都可以写成y s y y V displaystyle y s y y in V nbsp 的形式 其中V 是方程 的解空间 所以方程 的所有解函数构成一个仿射空间V 并且V y s V displaystyle V y s V nbsp 常系数齐次线性微分方程 编辑一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的 他意识到这类方程的解都具有e z x displaystyle e zx nbsp 的形式 其中z displaystyle z nbsp 是某个复数 因此 对于以下方程 d n y d x n A 1 d n 1 y d x n 1 A n y 0 displaystyle frac d n y dx n A 1 frac d n 1 y dx n 1 cdots A n y 0 nbsp 我们设y e z x displaystyle y e zx nbsp 可得 z n e z x A 1 z n 1 e z x A n e z x 0 displaystyle z n e zx A 1 z n 1 e zx cdots A n e zx 0 nbsp 两边除以e zx 便得到了一个n次方程 F z z n A 1 z n 1 A n 0 displaystyle F z z n A 1 z n 1 cdots A n 0 nbsp 这个方程F z 0称为特征方程 一般地 把微分方程中以下的项 d k y d x k k 1 2 n displaystyle frac d k y dx k quad quad k 1 2 dots n nbsp 换成zk 便可得到特征方程 这个方程有n个解 z1 zn 把任何一个解代入e zx 便可以得到微分方程的一个解 e zix 由于齐次线性微分方程满足叠加原理 因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程 如果特征方程的根都不重复 我们便得到了微分方程的n个解 可以证明 这些解是线性独立的 于是 微分方程的通解就是y C1e z1x C2e z2x Cne znx 其中C1 C2 Cn是常数 以上讨论了n个根全不相同的情形 如果这n个根中有两个 或多个 相同 用上面的方法就无法得出n个线性独立的解 但是 可以验证 如果z是特征方程的 mz 重根 那么 对于 k 0 1 m z 1 displaystyle k in 0 1 dots m z 1 nbsp y x k e z x displaystyle y x k e zx nbsp 就是微分方程的一个解 对每个特征根 z 都能得到 mz 个解 所有这些解的线性组合就是方程的通解 一般地 如果微分方程的系数Ai都是实数 那么它的解也应该表示成实数的形式 假如特征方程有复数根 那么它一定是成对的 也就是说 如果a bi是特征方程的根 那么a bi也是一个根 于是 y e a bi x和y e a bi x都是微分方程的解 但这两个解都是复数的形式 考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解 我们可以把这两个解相加 再除以2 利用欧拉公式 便得到一个实数形式的解 y e axcosbx 如果把两个解相减 再除以2i 便得到另一个实数形式的解 y e axsinbx 于是 y C1e axcosbx C2e axsinbx就是微分方程的通解 例子 编辑 求微分方程y 4 y 5 y 0 displaystyle y 4y 5y 0 nbsp 的通解 特征方程是z 2 4 z 5 0 displaystyle z 2 4z 5 0 nbsp 它的根是2 i和2 i 于是 y C 1 e 2 x cos x C 2 e 2 x sin x displaystyle y C 1 e 2x cos x C 2 e 2x sin x nbsp 就是微分方程的通解 常系数非齐次线性微分方程 编辑欲得到非齐次线性微分方程的通解 我们首先求出对应的齐次方程的通解 然后用待定系数法或常数变易法 日语 定数変化法 求出非齐次方程本身的一个特解 把它们相加 就是非齐次方程的通解 待定系数法 编辑 考虑以下的微分方程 d y d x y e 2 x displaystyle frac dy dx y e 2x nbsp 对应的齐次方程是 d y d x y displaystyle frac dy dx y nbsp 它的通解是 y c e x displaystyle y ce x nbsp 由于非齐次的部分是 e 2 x displaystyle e 2x nbsp 我们猜测特解的形式是 y p A e 2 x displaystyle y p Ae 2x nbsp 把这个函数以及它的导数代入微分方程中 我们可以解出A d d x A e 2 x A e 2 x e 2 x displaystyle frac d dx left Ae 2x right Ae 2x e 2x nbsp 2 A e 2 x A e 2 x e 2 x displaystyle 2Ae 2x Ae 2x e 2x nbsp 2 A A 1 displaystyle 2A A 1 nbsp A 1 displaystyle A 1 nbsp 因此 原微分方程的解是 y c e x e 2 x displaystyle y ce x e 2x nbsp c R displaystyle c in R nbsp 常数变易法 编辑 假设有以下的微分方程 y p y q y f x displaystyle y prime prime py prime qy f x nbsp 我们首先求出对应的齐次方程的通解 y C 1 y 1 C 2 y 2 displaystyle y C 1 y 1 C 2 y 2 nbsp 其中C1 C2是常数 y1 y2是x的函数 然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解 方法是把齐次方程的通解中的常数C1 C2换成x的未知函数u1 u2 也就是 y u 1 y 1 u 2 y 2 1 displaystyle y u 1 y 1 u 2 y 2 mathrm 1 nbsp 两边求導數 可得 y u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 displaystyle y u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 nbsp 我们把函数u1 u2加上一条限制 u 1 y 1 u 2 y 2 0 2 displaystyle u 1 y 1 u 2 y 2 0 mathrm 2 nbsp 于是 y u 1 y 1 u 2 y 2 3 displaystyle y u 1 y 1 u 2 y 2 mathrm 3 nbsp 两边再求導數 可得 y u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 4 displaystyle y u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 mathrm 4 nbsp 把 1 3 4 代入原微分方程中 可得 u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 p u 1 y 1 p u 2 y 2 q u 1 y 1 q u 2 y 2 f x displaystyle u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 u 2 y 2 pu 1 y 1 pu 2 y 2 qu 1 y 1 qu 2 y 2 f x nbsp 整理 得 u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 p u 1 y 1 q u 1 y 1 u 2 y 2 p u 2 y 2 q u 2 y 2 f x displaystyle u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 y 1 pu 1 y 1 qu 1 y 1 u 2 y 2 pu 2 y 2 qu 2 y 2 f x nbsp 由于y1和y2都是齐次方程的通解 因此u 1 y 1 p u 1 y 1 q u 1 y 1 displaystyle u 1 y 1 pu 1 y 1 qu 1 y 1 nbsp 和u 2 y 2 p u 2 y 2 q u 2 y 2 displaystyle u 2 y 2 pu 2 y 2 qu 2 y 2 nbsp 都变为零 故方程化为 u 1 y 1 u 2 y 2 f x 5 displaystyle u 1 y 1 u 2 y 2 f x mathrm 5 nbsp 2 和 5 联立起来 便得到了一个u 1 displaystyle u 1 nbsp 和u 2 displaystyle u 2 nbsp 的方程组 便可得到u 1 displaystyle u 1 nbsp 和u 2 displaystyle u 2 nbsp 的表达式 再积分 便可得到u 1 displaystyle u 1 nbsp 和u 2 displaystyle u 2 nbsp 的表达式 这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程 一般地 有 u j 1 n j W y 1 y j 1 y j 1 y n 0 f W y 1 y 2 y n displaystyle u j 1 n j frac W y 1 ldots y j 1 y j 1 ldots y n 0 choose f W y 1 y 2 ldots y n nbsp 其中W表示朗斯基行列式 变系数线性微分方程 编辑n阶的变系数微分方程具有以下形式 p n x y n x p n 1 x y n 1 x p 0 x y x r x displaystyle p n x y n x p n 1 x y n 1 x cdots p 0 x y x r x nbsp 一个例子是柯西 欧拉方程 x n y n x a n 1 x n 1 y n 1 x a 0 y x 0 displaystyle x n y n x a n 1 x n 1 y n 1 x cdots a 0 y x 0 nbsp 变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解 但一阶的变系数线性微分方程是例外 设有以下的一阶变系数线性微分方程 D y x f x y x g x displaystyle Dy x f x y x g x nbsp 这个方程可以用积分因子求解 方法是把两边乘以e f x d x displaystyle e int f x dx nbsp D y x e f x d x f x y x e f x d x g x e f x d x displaystyle Dy x e int f x dx f x y x e int f x dx g x e int f x dx nbsp 用乘法定则 可以简化为 D y x e f x d x g x e f x d x displaystyle D y x e int f x dx g x e int f x dx nbsp 两边积分 得 y x e f x d x g x e f x d x d x c displaystyle y x e int f x dx int g x e int f x dx dx c nbsp y x g x e f x d x d x c e f x d x displaystyle y x int g x e int f x dx dx c over e int f x dx nbsp 也就是说 一阶线性微分方程y x p x y x r x displaystyle y x p x y x r x nbsp 的解是 y e a x r x e a x d x k displaystyle y e a x left int r x e a x dx kappa right nbsp 其中k displaystyle kappa nbsp 是积分常数 且 a x p x d x displaystyle a x int p x dx nbsp 例子 编辑 考虑以下一阶线性微分方程 d y d x b y 1 displaystyle frac dy dx by 1 nbsp p x b r x 1 因此微分方程的解为 y x e b x e b x b C 1 b C e b x displaystyle y x e bx left frac e bx b C right frac 1 b Ce bx nbsp 拉普拉斯变换解微分方程 编辑应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单 首先有以下关系 L f s L f f 0 displaystyle mathcal L f s mathcal L f f 0 nbsp L f s 2 L f s f 0 f 0 displaystyle mathcal L f s 2 mathcal L f sf 0 f 0 nbsp L f n s n L f S i 1 n s n i f i 1 0 displaystyle mathcal L f n s n mathcal L f Sigma i 1 n s n i f i 1 0 nbsp 有如下微分方程 i 0 n a i f i t ϕ t displaystyle sum i 0 n a i f i t phi t nbsp 该方程可变换为 i 0 n a i L f i t L ϕ t displaystyle sum i 0 n a i mathcal L f i t mathcal L phi t nbsp 则 L f t L ϕ t i 1 n a i j 1 i s i j f j 1 0 i 0 n a i s i displaystyle mathcal L f t mathcal L phi t sum i 1 n a i sum j 1 i s i j f j 1 0 over sum i 0 n a i s i nbsp 其中 f k 0 displaystyle f k 0 nbsp 是初始条件 f t 通过拉普拉斯反变换 L f t displaystyle mathcal L f t nbsp 求得 参见 编辑拉普拉斯变换 傅里叶变换 里卡蒂方程 伯努利微分方程 柯西 欧拉方程 克莱罗方程 全微分方程参考文献 编辑Stanley J Farlow 1994 An introduction to differential equations and their applications McGraw Hill Inc ISBN 0 07 020030 0 p 131 139 p 158 162 取自 https zh wikipedia org w index php title 线性微分方程 amp oldid 68602020, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,