积分因子

积分因子是一种用来解微分方程的方法。

方法

考虑以下形式的微分方程：

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)}$ 

其中${\displaystyle y=y(x)}$ 是${\displaystyle x}$ 的未知函数，${\displaystyle a(x)}$ 和${\displaystyle b(x)}$ 是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数${\displaystyle M(x)}$ 。我们把(1)的两边乘以${\displaystyle M(x):}$ 

${\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)}$ 

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)}$ 

两边积分，得：

${\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}$ 

其中${\displaystyle C}$ 是一个常数。于是，

${\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,}$ 

为了求出函数${\displaystyle M(x)}$ ，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

${\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad }$ 

与(2)比较，可知${\displaystyle M(x)}$ 满足以下微分方程：

${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,}$ 

两边除以${\displaystyle M(x)}$ ，得：

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)}$ 

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.}$ 

我们可以看到，${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)}$ 的性质在解微分方程中是十分重要的。${\displaystyle M(x)}$ 称为积分因子。

例子

解微分方程

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$ 

我们可以看到，${\displaystyle a(x)={\frac {-2}{x}}}$ ：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}$ 

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$ 

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$ 

两边乘以${\displaystyle M(x)}$ ，得：

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$ 

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$ 

或

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}$ 

可得

${\displaystyle y(x)=Cx^{2}.}$ 

一般的应用

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$ 

可以看到，${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$ 是一个积分因子：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}$ 

利用复合函数求导法则，可得：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}$ 

因此

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}$ 

利用分离变量法，可得：

${\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},}$ 

这就是方程的通解。

参见

• 微分方程
• 乘法定则
• 全微分

参考文献

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.