萊昂哈德·歐拉

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莱昂哈德·保罗·歐拉（德語：Leonhard Paul Euler，又譯作尤拉，1707年4月15日—1783年9月18日）^[3][4][5]，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。

莱昂哈德·歐拉 Leonhard Euler
原文名	Leonhard Paul Euler
出生	(1707-04-15)1707年4月15日  舊瑞士邦聯巴塞尔
逝世	1783年9月18日(1783歲—09—18)（76歲）  俄罗斯帝国圣彼得堡
居住地	普魯士王國  俄罗斯帝国  舊瑞士邦聯
国籍	舊瑞士邦聯
母校	巴塞尔大学
科学生涯
研究领域	数学、物理学
机构	俄国皇家科学院 普鲁士科学院
博士導師	約翰·伯努利
博士生	约瑟夫·拉格朗日
签名

欧拉在包括微积分和图论在內的多个数学领域都做出过重大贡献。他首次引进的许多数学术语和书写格式一直沿用至今，例如函数的记法${\displaystyle f(x)}$，虚数单位${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$的记法 ${\displaystyle i}$ ，圆周率的记法 ${\displaystyle \pi }$ ，求和符号${\displaystyle \Sigma }$等^[6]。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。

欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其学术著作有60-80冊。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师。”^{[註 1][7]}

生平

早年

 

第六版10元瑞士法郎正面的欧拉肖像

欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是基督教加尔文宗的牧师，保罗·欧拉早年在巴塞尔大学学习神学，后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克（Marguerite Brucker），也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子。在欧拉出生后不久，他们全家就从巴塞尔搬迁至郊外的里恩，在那里欧拉度过了他童年的大部分时光。

欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数学，后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一起，在那里开始了他的正式学业。中学时期，由于欧拉所在的学校不教授数学，他便私下从一位大学生那里学习^[8]。

欧拉13岁时进入巴塞尔大学，主修哲学和法律^[8]，但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家約翰·伯努利学习数学^[9] 。欧拉于1723年取得了他的哲学硕士学位，学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较研究。之后，欧拉遵从了他父亲的意愿进入了神学系，学习神学，希腊语和希伯来语（欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师），但最终約翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉学习数学，并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。1726年，欧拉完成了他的博士学位论文De Sono，内容是研究声音的传播^[10]。1727年，欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛，当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖，一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格所获得，不过欧拉随后在他一生中一共12次赢得该奖项一等奖。

在圣彼得堡

这一时期，約翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作，在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后（此时距他来到俄国仅一年），丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位，同时推荐欧拉来接替他自己在生理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然接受了邀请，但并没有立即动身前往圣彼得堡，而是先申请巴塞尔大学的物理学教授，不过没有成功。

 

前苏联于1957年发行的邮票，纪念欧拉诞辰250周年。文字内容为：欧拉，伟大的数学家和学者，诞辰250周年。

欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡，在丹尼尔等人的请求下，科学院将欧拉指派到数学/物理学所工作，而不是起初的生理学所。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系，并且与丹尼尔住在一起。在1727年至1730年间，欧拉还担任了俄国海军医官的职务。

俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建，在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期，科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，并且只招收非常少的学生，以减轻教授们的教学负担。科学院还非常重视研究，给予教授们充分的时间及自由，让他们探究科学问题。

凯瑟琳女皇，同时也是科学院的资助者，于欧拉到达圣彼得堡的当天去世。其后彼得二世继位，彼得二世是个软弱的君主，实际权力由俄国贵族掌握。贵族们对科学院的外国科学家心存戒心，于是他们切断了对欧拉及其同事们的财政资助，并且在其它方面找他们的麻烦。

情况在彼得二世去世（1730年）后有所好转，欧拉在科学院的地位迅速得到提升，并于1731年获得物理学教授的职位。两年后，由于受不了在圣彼得堡受到的种种审查和敌视，丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔，欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长^[11]。1735年，欧拉还在科学院地理所担任职务，协助编制俄国第一张全境地图。

1734年1月7日，欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师，瑞士人乔治·葛塞尔（Georg Gsell）的女儿，柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell，1707-1773）^[12] ，两人共育有13个子女，其中仅有5个活到成年^[13]。

在柏林

考虑到俄国持续的动乱，欧拉在1741年6月19日离开了圣彼得堡，到柏林科学院就职，职位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年，并写下了不止380篇文章。在柏林，他出版了他最有名的两部作品：关于函数方面的文章《无穷小分析引论》，出版于1748年；另一部是关于微分的《微积分概论》，^[14]出版于1755年。^[15]在1755年，他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。

视力恶化

在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的發燒后的三年，他的右眼近乎失明，但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作。在德国期间，他的视力也持续恶化。欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。1766年，他在查出白内障的几个星期内，近乎完全失明。然而，欧拉的学术生产力似乎并未受到病痛影响，这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。比如，欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。在文職人员的帮助下，欧拉在多个领域的研究其实变得更加豐富了。在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。^[16]

其他

欧拉年輕時曾研讀神學，他一生虔诚、篤信上帝，並不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發表。有一个广泛流传的传说说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷裡，挑战當時造訪宮廷的無神論者德尼·狄德罗：“先生，${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$ ，所以上帝存在，請回答！”不懂數學的德尼完全不知怎麼應對，只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家，这个传说有可能属于虚构。

欧拉是史上發表論文數第二多的数学家，全集共计75卷；他的紀錄一直到了20世紀才被保羅·埃尔德什打破。后者發表的論文達1525篇^{[註 2]}，著作有32部^{[註 3]}。欧拉在他的时代，產量之多，無人能及。欧拉实际上支配了18世纪至现在的数学；对于当时新数学分支微积分，他推导出了很多结果。很多數學的分枝，也是由欧拉所創或因而有了极大的進展。

在1765年至1771年據說是因歐拉雙眼直接觀察太陽，雙眼先後失明。尽管人生最後7年，欧拉的双目完全失明，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

1783年9月18日，晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，煙斗从他手中掉了下来。他说了一声：“我的烟斗”，并弯腰去捡，结果再也没有站起来，他抱着头说了一句：“我死了”。「欧拉停止了计算和生命」。后面这句经常被数学史家引用的话，出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：「...il cessa de calculer et de vivre」（he ceased to calculate and to live）。

成就

歐拉的数学符号引进和推广，並透過他的许多教科书广为流传。最为著名的，是他引进了“函数”的概念，并且第一个将函数的写为f(x)，以表示一个以x为自变量的函数。他还介绍了三角函数现代符号，以e表記自然对数的底（现在也称作欧拉数），用希腊字母Σ表記累加和以i表示虚数单位。用希腊字母π来表示一个圆的周长和直径之比也由欧拉普及，但並不是由他發明。

欧拉建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和透過质心轴和垂直于两者的截面的转动惯量。

他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学裡的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。

在数论里他引入了欧拉函数。自然数${\displaystyle n}$ 的欧拉函数${\displaystyle \phi (n)}$ 被定义为小于${\displaystyle n}$ 并且与${\displaystyle n}$ 互质的自然数的个数。例如，${\displaystyle \phi (8)=4}$ ，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也是以欧拉函数为基础。

在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数。

他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

其中${\displaystyle \zeta (s)}$ 是黎曼函数。

欧拉将虚数的幂定义为如下公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$ 

这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式），该公式将自然常数、圆周率、乘法单位元和加法单位元联系在了一个等式中：

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$ 或${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$ 

他在1735年定义了微分方程中的歐拉-馬斯刻若尼常數，也是歐拉-麥克勞林求和公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效：

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}...+{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)}$ 

欧拉还发现了公式的 V - E + F = 2 的数量与顶点(Vertex, V)，边(Edge, E)和面(Face, F)的凸多面体，因此，对一个平面图形。此公式中的常数是现在被称为欧拉示性数的图形（或其他数学对象），是有关属的对象。研究和推广这一公式，特别是通过柯西和欧莱雅Huillier，是在原点的拓扑结构。

欧拉在1736年解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis），对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试（Tentamen novae theoriae musicae）》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部“为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的”著作。

在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在固定规模报酬的情形下，总收入和产出将完全耗尽。

在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单连通多面体的边、顶点和面之间存在的关系：

${\displaystyle F-E+V=2\,}$ 

其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形${\displaystyle M}$ ，则：

 

欧拉之墓：「莱昂哈德·歐拉，圣彼得堡科学院，1837」

${\displaystyle F-E+V=\chi (M)\,}$ 

其中χ为此流形的欧拉示性数，在流形的连续变形下是不变量。单连通流形（例如球面或平面）的欧拉特征值是2。对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：${\displaystyle F-E+V-C=1}$ ，其中${\displaystyle C}$ 为图中连通分支数。

數獨是歐拉發明的拉丁方的概念，在當時並不流行，直到20世紀由日本上班族鍛治真起帶起流行。

《歐拉全集》

據統計，歐拉生前平均每年發表八百頁的學術論文，內容涵蓋多個學術範疇。1911年，數學界系統地開始出版歐拉的著作，並定名為《歐拉全集》(Opera Omnia)，迄今已出版七十多卷，平均每卷厚達五百多頁，重約四磅。預計《歐拉全集》全部出齊時約重三百磅。

紀念

歐拉是第六系列瑞士10法郎的鈔票以及德國、俄羅斯郵票的主角。在2002年，小行星2002被命名為歐拉。基督教新教-路德教派將聖徒日曆上五月二十四日定為紀念歐拉的日子。歐拉是一位虔誠的基督教徒，相信聖經是正確而沒有錯誤的，並且極力地反對那些擁有無神論思想的人們。

日內瓦大學在智利拉西拉天文台建立的口徑1.2米望遠鏡命名為萊昂哈德·歐拉望遠鏡^[17]。

2013年4月15日谷歌以首頁涂鸦纪念欧拉306周年诞辰，展示了欧拉角、欧拉公式、欧拉恒等式、欧拉示性数和七桥问题等。^[18]

註釋

1. 法语原文为：Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.
2. 另一說865篇
3. 另一說31部

參考資料

1. Dan Graves. Scientists of Faith. Grand Rapids, MI: Kregel Resources. 1996: 85–86. 
2. E. T. Bell. Men of Mathematics, Vol. 1. London: Penguin. 1953: 155. 
3. 數學泰斗尤拉. www.plk83.edu.hk. 保良局羅傑承（一九八三）中學. [2022-09-01]. （原始内容于2022-09-01）. 
4. 尤拉 Euler, Leonhard (1707-1783). 雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. 國家教育研究院. 
5. 李信昌. 尤拉 (Euler，1707-1783). 昌爸工作坊. [2022-08-26]. （原始内容于2021-01-19）. 
6. Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999: pp. 17.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999. xiii. 
8. John, Stillwell. Mathematics and its History. Springer. 2001: pp. 188. ISBN 0-387-95336-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
9. James, Ioan. Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge. 2002: 2. ISBN 0-521-52094-0. 
10. Translation of Euler's Ph.D in English by Ian BrucePDF (232 KiB)
11. Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996-05-01, 23 (2) [2022-09-29]. ISSN 0315-0860. doi:10.1006/hmat.1996.0015. （原始内容于2022-10-03） （英语）. 
12. Gekker, I.R.; Euler, A.A. Leonhard Euler's family and descendants. Bogoliubov, N.N.; Mikhaĭlov, G.K.; Yushkevich, A.P. (编). Euler and modern science. Mathematical Association of America. 2007. ISBN 088385564X. , p. 402.
13. Fuss, Nicolas. Eulogy of Euler by Fuss (dmy). [2006-08-30]. （原始内容于2018-12-26）. 
14. E212 – Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Dartmouth. [2013-01-16]. （原始内容于2008-02-25）. 
15. Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999. xxiv–xxv. 
16. Finkel, B. F. Biography: Leonhard Euler. The American Mathematical Monthly. 1897, 4 (12) [2020-09-18]. ISSN 0002-9890. JSTOR 2968971. doi:10.2307/2968971. （原始内容于2022-10-04）. 
17. Swiss 1.2-metre Leonhard Euler Telescope. [2013-03-24]. （原始内容于2013-05-07）. 
18. Leonhard Euler's 306th Birthday. Google. [2014-03-02]. （原始内容于2014-04-17） （英语）. 

參見

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外部链接

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