自然對數

自然对数（英語：Natural logarithm）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作${\displaystyle \ln x}$或${\displaystyle \log _{e}x}$，其反函数為指數函數${\displaystyle e^{x}}$。^{[註 1]}

自然對數${\displaystyle \ln(x)}$的函數圖像

自然对数${\displaystyle \ln(x)}$的積分定義

自然对数积分定義為對任何正實數${\displaystyle x}$，由 ${\displaystyle 1}$ 到 ${\displaystyle x}$ 所圍成， ${\displaystyle xy=1}$ 曲線下的面積 。如果${\displaystyle x}$小於1，則計算面積為負數。

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,}$

${\displaystyle e}$ 則定義為唯一的實數 ${\displaystyle x}$ 使得 ${\displaystyle \ln x=1}$。

自然对数一般表示為 ${\displaystyle \ln x\!}$ ，數學中亦有以 ${\displaystyle \log x\!}$ 表示自然對數。 ^{[1][註 2]}

歷史

十七世纪

 

雙曲線扇形是笛卡爾平面${\displaystyle \{(x,y)\}}$ 上的一個區域，由從原點到${\displaystyle (a,{\frac {1}{a}})}$ 和${\displaystyle (b,{\frac {1}{b}})}$ 的射線，以及雙曲線${\displaystyle xy=1}$ 圍成。在標準位置的雙曲線扇形有${\displaystyle a=1}$ 且${\displaystyle b>1}$ ，它的面積為${\displaystyle \ln(b)}$ ^[2]，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。

 

當直角雙曲線下的兩段面積相等時，${\displaystyle x}$ 的值呈等比數列，${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k}$ ，${\displaystyle y}$ 的值也呈等比數列，${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}}$ 。

約翰·納皮爾在1614年^[3]以及约斯特·比尔吉在6年後^[4]，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.0001¹⁰⁰⁰⁰相當接近自然對數的底數${\displaystyle e}$ ，而約翰·納皮爾的底數0.9999999^10000000相當接近${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$ ^[5]。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法^[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ 的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況${\displaystyle p=-1}$ 對應於雙曲線的弓形面積（英语：Quadrature (mathematics)），即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）給出^[7]，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積（英语：The Quadrature of the Parabola）），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）將對數聯繫於雙曲線${\displaystyle xy=1}$ 的弓形面積，他發現x軸上${\displaystyle [a,b]}$ 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同${\displaystyle [c,d]}$ 對應的扇形，在${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ 時面積相同，這指出了雙曲線從${\displaystyle x=1}$ 到${\displaystyle x=t}$ 的積分${\displaystyle f(t)}$ 滿足^[8]：

${\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u).\,}$ 

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}}$ 展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中^[9]，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為^[10][11]：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}$ 

${\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)}$ 

1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念^[12]。

形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

${\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}$ 

${\displaystyle \ln(a)}$ 正式定義為積分，

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$ 

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!}$ 

這可以通過將定義了${\displaystyle \ln(ab)}$ 的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元${\displaystyle x=ta}$ 來證實:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)}$ 

${\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}$ 

冪公式${\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)}$ 可如下推出:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).}$ 

第二個等式使用了換元${\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}}$ 。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

${\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).}$ 

性質

• ${\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,}$ 
• ${\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,}$ 

(參見複數對數)

• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}$ 
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,}$ 
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,}$ 
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,}$ 

證明
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1}$

導數

 

自然對數的圖像和它在${\displaystyle x=1.5}$ 處的切線。

 

${\displaystyle \ln(1+x)}$ 的泰勒多項式只在${\displaystyle -1<x\leq 1}$ 範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}$ 

證明一 （微積分第一基本定理）:${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}}$ 

證明二: 按此影片 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}$ 

设 ${\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}}$ 

设 ${\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln e}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}}$ 

用自然對數定義的更一般的對數函數，${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$ ，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為^[13][14]：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$ 

根據鏈式法則，以${\displaystyle f(x)}$ 為參數的自然對數的導數為

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$ 

右手端的商叫做${\displaystyle f}$ 的對數導數（英语：logarithmic derivative），通過${\displaystyle \ln(f(x))}$ 的導數的方法計算${\displaystyle f'(x)}$ 叫做對數微分^[15]。

冪級數

自然對數的導數性質導致了${\displaystyle \ln(1+x)}$ 在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$ 

對於所有${\displaystyle \left|x\right|\leq 1,}$  但不包括${\displaystyle x=-1.}$ 

把${\displaystyle x-1}$ 代入${\displaystyle x}$ 中，可得到${\displaystyle \ln(x)}$ 自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何${\displaystyle x}$ 有效的如下級數:

${\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.}$ 

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到${\displaystyle x \over {x-1}}$ 是自身的逆函數，所以要生成特定數${\displaystyle y}$ 的自然對數，簡單把${\displaystyle x \over {x-1}}$ 代入${\displaystyle x}$ 中。

${\displaystyle \ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,}$ 

對於${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.}$ 

自然數的倒數的總和

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$ 

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當${\displaystyle n}$ 趨於無窮的時候，差

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$ 

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。^[16]

積分

自然對數通過分部積分法積分:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$ 

假設:

${\displaystyle u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$ 

${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\,}$ 

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$ 

自然對數可以簡化形如${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ 的函數的積分：${\displaystyle g(x)}$ 的一個原函數給出為${\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )}$ 。這是基於鏈式法則和如下事實:

${\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.}$ 

換句話說，

${\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}$ 

且

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$ 

例子

下面是${\displaystyle g(x)=\tan x}$ 的例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}}$ 

設${\displaystyle f(x)=\cos x}$ 且${\displaystyle f'(x)=-\sin x}$ ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}}$ 

與雙曲函數的關係

 

在直角雙曲線(方程${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ )下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角${\displaystyle u}$ 的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中${\displaystyle \cosh }$ 和${\displaystyle \sinh }$ 的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 倍。

 

射線出原點交單位雙曲線${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ 於點${\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ，這裡的${\displaystyle \scriptstyle a}$ 是射線、雙曲線和${\displaystyle \scriptstyle x}$ 軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數^[17]，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積^[18]。對數函數是在直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$ 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線${\displaystyle y=x}$ 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角${\displaystyle u}$ ，在漸近線即x或y軸上需要有的${\displaystyle x}$ 或${\displaystyle y}$ 的值。顯見這裡的底邊是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ，垂線是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$ 
• ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ 

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$ 下雙曲角的${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 。

連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}$ 

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為${\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024}$ ，2的自然對數可以計算為:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$ 

進而，因為${\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}}$ ，10的自然對數可以計算為:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$ 

複數對數

主条目：複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數${\displaystyle x}$ 得出複數值為${\displaystyle e^{x}}$ 的函數，只需要簡單使用${\displaystyle x}$ 為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle e^{x}=0}$ ；並且有著${\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^{0}}$ 。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，${\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\pi i}}$ ，對於所有複數${\displaystyle z}$ 和整數${\displaystyle n}$ 。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加${\displaystyle 2\pi i}$ 的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，${\displaystyle \log i={\frac {1}{2}}\pi i}$ 或${\displaystyle {\frac {5}{2}}\pi i}$ 或${\displaystyle -{\frac {3}{2}}\pi i}$ 等等；儘管${\displaystyle i^{4}=1}$ ，${\displaystyle 4\log =i}$ 不能定義為${\displaystyle 2\pi i}$ 或${\displaystyle 10\pi i}$ 或${\displaystyle -6\pi i}$ ，以此類推。

• 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
•  

  z = Re(ln(x+iy))

•  
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•  

  前三圖的疊加

主值定義

對於每個非0複數${\displaystyle z=x+yi}$ ，主值${\displaystyle \log z}$ 是虛部位於區間${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 內的對數。表達式${\displaystyle \log 0}$ 不做定義，因為沒有複數${\displaystyle w}$ 滿足${\displaystyle e^{w}=0}$ 。

要對${\displaystyle \log z}$ 給出一個公式，可以先將${\displaystyle z}$ 表達為極坐標形式，${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ 。給定${\displaystyle z}$ ，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向${\displaystyle \theta }$ 增加${\displaystyle 2\pi }$ 的整數倍，所以為了保證唯一性而要求${\displaystyle \theta }$ 位於區間${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 內；這個${\displaystyle \theta }$ 叫做幅角的主值，有時寫為${\displaystyle \operatorname {arg} z}$ 或${\displaystyle \operatorname {atan} 2(y,x)}$ 。則對數的主值可以定義為^[19] ：

${\displaystyle \operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$ 

例如，${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}}$ 。

科学應用

自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程${\displaystyle N}$ 随时间变化率${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}$ ，常数${\displaystyle p}$ 为原子衰变概率，积分得${\displaystyle N(t)=N(0)\exp(-pt)}$ 。

註釋

1. 根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因${\displaystyle e^{x}}$ 的值域為${\displaystyle (0,\infty )}$ ，且其為${\displaystyle \ln x}$ 之反函數，故可知${\displaystyle \ln x}$ 之定義域為${\displaystyle (0,\infty )}$ ，即${\displaystyle \ln x}$ 在非正實數系無法定義。
2. 若要避免與底為10的常用對數 ${\displaystyle \log x\!}$  混淆，可用「全寫」 ${\displaystyle \log _{\boldsymbol {e}}x\!}$  。

参考资料

1. 例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）
2. 證明：從1到b積分1/x，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
3. Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914 
4. Boyer, Carl B., 14，Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 
5. 選取接近e的底數b，對數表涉及的b^x為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b^x為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。
6. 以${\displaystyle 10^{\frac {1}{2^{54}}}}$ 這個接近1的數為基礎。
7. 博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：

   ${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}$ 

   其不定積分形式為：

   ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$ 

   獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、Gilles de Roberval（英语：Gilles de Roberval）和埃萬傑利斯塔·托里拆利。
8. 設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。
9. J. J. O'Connor; E. F. Robertson, , The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02], （原始内容存档于2012-02-19） 
10. 卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：

    ${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$ 

    歐拉的自然對數定義：

    ${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1)\\&=\lim _{n\rightarrow -1}{\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1).\\\end{aligned}}}$ 

11. Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.
    Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3
    Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
12. ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}=\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{\frac {x}{n}}}$ 
    在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。
13. Lang 1997, section IV.2
14. Wolfram, Stephen. . from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. （原始内容存档于2011-07-18） （英语）. 
15. Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
16. Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
17. Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
18. Ratcliffe, John, , Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-28], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
19. Sarason, Section IV.9.

延伸阅读

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• E. T. Whittaker（英语：E. T. Whittaker） and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.