常用對數

標準對數，也称常用對數（英語：Common logarithm^{[註 1]}）在數學是以10為底數的對數函數，其逆函數是以10作基數的指數函數。

由0.1到100的常用對數

底為10的對數表达式以log₁₀(x)表示，有時以英文大寫字母L表示Log(x)^{[註 2]}。計算機的標記通常是“log”，但數學家通常区分自然对数^{[註 3]}和常用對數。為了區分開來，ISO 80000規範建議log₁₀(x)應寫成lg (x)，logₑ(x)應寫成ln (x)。

數學表达

常用對數一般表示成${\displaystyle \log x}$ ，或简写成${\displaystyle \lg x}$ ，正式寫法是${\displaystyle \log _{10}x}$ ；而常用對數逆函數為${\displaystyle 10^{x}}$ 。

用途

 

常用對數表，顯示數字1000到1500的常用對數至五位小數，全表涵蓋大至9999的數

常用對數可令「十變一，億變八」（數算整數位以上的零的數目），多數用於比較並表達聲音強度（分貝）、酸鹼值、地震規模（芮氏震級）、星等等相差層次很大的數值。常見例子是化學用的氫離子指數，定義如

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}{\frac {[\mathrm {H} ^{+}]}{\mathrm {mol/L} }}}$ 。

20世紀70年代初之前還沒有手持電子計算器可用，能倍增的機械計算器體積龐大，價格昂貴並不廣泛使用。相反，當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時，科學，工程和導航用的是底數為10的對數表格。使用對數避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。對數非常有用，許多教科書的附錄都有底為10的對數表格。數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。

底為10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用，大於1的對數相差10倍的冪，小數部分都相同，對數表只需顯示小數部分，稱尾數（mantissa）。常用對數表通常列出範圍內各數的尾數，小數點後4至5位，如1000到9999。這範圍涵蓋尾數的所有可能值。

整數部分稱特徵（characteristic），可數算小數點必須移動多少位來計算，以便它僅在第一有效位的右側，如120的對數由以下計算得出：

log120＝log(10²×1.2)＝2+log1.2≈2+0.07918。

最後數字（小數部分0.07918，或120的常用對數尾數）可在下表找到。小數點在120的位置告訴我們120的常用對數特徵是2。

大於0且小於1的數字有負對數，為了避免需要另外的表格將正負對數轉換回原數，有時會用小節符號表示：

${\displaystyle \log _{10}0.012=\log _{10}(10^{-2}\times 1.2)=-2+\log _{10}1.2\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918=-1.92082}$ 

特徵上的橫線表明其為負值，而尾數仍為正值，符號${\displaystyle {\bar {n}}}$ 讀作“bar n”，${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$ 讀作“bar 2 point 07918”。

以下示例用小節符號計算0.012×0.85＝0.0102：

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}0.012\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}0.85&=\log _{10}(10^{-1}\times 8.5)=-1+\log _{10}8.5&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\;,\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}0.012+\log _{10}0.85&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102)\end{array}}}$ 

下表顯示如何將相同的尾數用於不同10次方的數字範圍：

一數乘不同10次方之常用對數、特徵及尾數

數：5×10^i	常用對數：logn	特徵i：floor(logn)	尾數logn－特徵	combined form
5000000	6.698970…	6	0.698970…	6.698970…
50	1.698970…	1	0.698970…	1.698970…
5	0.698970…	0	0.698970…	0.698970…
0.5	−0.301029…	−1	0.698970…	1.698970…
0.000005	−5.301029…	−6	0.698970…	6.698970…

${\displaystyle \log _{10}(x\times 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i}$ ，

尾數對所有5×10ⁱ都通用，適用於任何正實數${\displaystyle x}$ 。

對數表每條尾數可以只列一次。在5×10ⁱ的例子中，0.698970（004336018…）列在5（或0.5或500等）之下一次。

歷史

以10为底的对数对计算最常用，工程师通常简写成“ lg( x ) ”。另一方面，数学家在表示自然对数的logₑ（x）时会写成“ ln（x）”，这两种符号現今都广泛使用。

手持电子计算器由工程师而非数学家设计，遵循工程师的符号已成为惯例；记法“ln（x）”在发明电子计算器後大幅普及。

數值

注释

1. 或稱為布里格斯對數，以纪念率先使用的英國數學家Henry Briggs命名
2. 然而這個符號是不明確的，因為它也可能意味著複數自然對數多值函數
3. 底數e≈2.71828的對數

參見

• 自然對數