複對數

複對數（英語：Complex logarithm）為自然對數延伸到非零复数的函數，是以下兩個定義中的一個，這兩個定義彼此也密切相關：

• 非零複數${\displaystyle z}$的複對數，定義為可以使${\displaystyle e^{w}=z}$的任意複數${\displaystyle w}$^[1][2]。此複數${\displaystyle w}$可以表示為${\displaystyle \log z}$^[1]。若${\displaystyle z}$以極坐標表示為${\displaystyle z=re^{i\theta }}$，其中${\displaystyle r}$和${\displaystyle \theta }$是實數，${\displaystyle r>0}$，則${\displaystyle \ln r+i\theta }$是${\displaystyle z}$的一個複對數，${\displaystyle z}$的所有複對數會是${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$，其中的${\displaystyle k}$為整數^[1][2]。對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列。
• 複數值函數${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$，定義在${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$集合中非零複數中的一個子集合${\displaystyle U}$，滿足${\displaystyle e^{\log z}=z}$，針對${\displaystyle U}$裡的所有${\displaystyle z}$。這樣的複數函數類似實數的自然對數函數${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$，後者是實數指數函數的反函數，因此針對所有的正實數x，可以滿足e^{ln x} = x。複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立，用${\displaystyle 1/z}$的積分，或是用解析延拓的方式建立。

複對數的一個分支。其色相表示複對數的辐角（極坐標下相對原點的角度），其顏色的飽和度及亮度表示複對數的绝对值。圖片的檔案頁中有列出其顏色對應的數值

沒有在整個複數域${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$均有定義的連續複指數函數。處理此問題的方式包括分支（英语：Branch point）、相關的黎曼曲面、以及複數指數函數的部份反函數（partial inverse）。主值（principal value）定義了特定的複指數函數${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$，除了在負實數軸之外都連續。是不考慮負實數和0的複平面。這是（實數）自然對數的解析延拓。

參考資料

1. Ahlfors, Section 3.4.
2. Sarason, Section IV.9.

書目

• Ahlfors, Lars V. Complex Analysis 2nd. McGraw-Hill. 1966 [2024-01-13]. （原始内容于2024-01-13）. 
• Sarason, Donald. Complex Function Theory 2nd. American Mathematical Society. 2007. 

相關條目

• 对数
• 离散对数
• 指数函数
• 辐角
• 反三角函数
• 冪
• 分支切割（英语：Branch cut）
• 共形映射
• 解析延拓