数学 上,特别是在复分析 中,一个黎曼曲面 是一个一维复流形 。黎曼曲面可以被視为是一个复平面 的变形版本:在每一点局部看来,他们就像一片复平面,但整体的拓扑 可能极为不同。例如,他们可以看起来像球 或是环,或者两个页面粘在一起。
函数
f ( z ) = z {\displaystyle f(z)={\sqrt[{}]{z}}} 的黎曼曲面
黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数 。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择,特别是像平方根 和自然对数 这样的多值函數 。
每个黎曼曲面都是二维实解析流形 (也就是曲面 ),但它有更多的结构(特别是一个複結構 ),因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向 的。所以球和环有複結構,但是莫比乌斯带 ,克莱因瓶 和射影平面 没有。
黎曼曲面的几何性质是最妙的,它们也给與其它曲线,流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理 就是这种影响的最佳例子。
形式化定义 令X 为一个豪斯多夫空间 。一个从开子集U ⊂C 到X 的子集的同胚 称为坐标卡 。两个有重叠区域的坐标卡f 和g 称为相容的,如果映射f o g -1 和g o f -1 是在定义域上全纯 的。若A 一组相容的图,并且每个X 中的x 都在某个f 的定义域中,则称A 为一个图册 '。当我们赋予X 一个图册A ,我们称(X ,A )为一个黎曼曲面。如果知道有图册,我们简称X 为黎曼曲面。
不同的图册可以在X 上给出本质上相同的黎曼曲面结构;为避免这种模糊性,我们有时候要求X 为极大 的,也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理 每个图集A 包含于一个唯一的最大图集中。
例子 复平面 C 可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f (z ) = z (恒等映射)定义了C 的一个图,而{f }是C 的一个图集。映射g (z ) = z* (共轭 )映射也定义了C 的一个图而{g }也是C 的一个图集。图f 和g 不相容,所以他们各自给了C 一个黎曼曲面结构。事实上,给定黎曼曲面X 及其图集A ,共轭图集B = {f* : f ∈ A}总是不和A 相容,因此赋予X 一个不同的黎曼曲面结构。类似的,每个复平面的开子集 可以自然的视为黎曼曲面。更一般的,每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。 令S = C ∪ {∞}并令f (z ) = z 其中z 属于S \ {∞}并且令g (z ) = 1 / z 其中z 属于S \ {0}以及定义1/∞为0.则f 和g 为图,它们相容,而{ f , g }是S 图集,使S 成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为黎曼球 因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不像复平面,它是一个紧空间 。 紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线 等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出(见下面)
属性和更多的定义 两个黎曼曲面M 和N 之间的函数 f : M → N 称为全纯,如果对于M 的图集中的每个图g 和N 的图集中的每个图h ,映射h o f o g -1 在所有有定义的地方是全纯的(作为从C 到C 的函数)。两个全纯函数的複合是全纯的。两个黎曼曲面M 和N 称为保角等价 (或共形等价 ),如果存在一个双射 的从M 到N 的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。
每个单连通 的黎曼曲面和C 或黎曼球C ∪ {∞}或开圆盘{z ∈ C : |z | < 1}保角等价。这个命题称为单值化定理 。
每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率 -1,0或1的完备 实黎曼流形 。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲 的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物 的;C 是典型的抛物黎曼曲面。最后,有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆 的;黎曼球 C ∪ {∞}是这样的一个例子。
对于每个闭抛物黎曼曲面,基本群 同构于2阶格群,因而曲面可以构造为C /Γ,其中C 是複平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做基本域 。
类似的,对每个双曲黎曼曲面,基本群同构于富克斯群,因而曲面可以由富克斯模型H /Γ构造,其中H 是上半平面 而Γ是富克斯群。H /Γ陪集的代表是自由正则集,可以作为度量基本多边形 。
当一个双曲曲面是紧的,则曲面的总面积是 4 π ( g − 1 ) {\displaystyle 4\pi (g-1)} ,其中g 是曲面的亏格 ;面积可由把高斯-博内定理 应用到基本多边形的面积上来算出。
前面我们提到黎曼曲面,象所有複流形,象实流形一样可定向 。因为複图f 和g 有变换函数h = f (g -1 (z )),我们可以认为h 是从R 2 开集到R 2 的映射,在点z 的雅可比矩阵 也就是由乘以複數h'(z) 的运算给出的实线性变换。但是,乘以複數α的行列式 等于|α|^2,所以h 的雅可比阵有正的行列式值。所以,複图集是可定向图集。
历史
相关主题
参考 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X Riemann Surface(页面存档备份,存于互联网档案馆 ) on Planet Math
黎曼曲面, 此條目已列出參考文獻, 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明, 2019年5月6日, 请加上合适的文內引註来改善这篇条目, 数学上, 特别是在复分析中, 一个是一个一维复流形, 可以被視为是一个复平面的变形版本, 在每一点局部看来, 他们就像一片复平面, 但整体的拓扑可能极为不同, 例如, 他们可以看起来像球或是环, 或者两个页面粘在一起, 函数f, displaystyle, sqrt, 的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数, 现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择, 特别是像平方根和自然对数这样. 此條目已列出參考文獻 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明 2019年5月6日 请加上合适的文內引註来改善这篇条目 数学上 特别是在复分析中 一个黎曼曲面是一个一维复流形 黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本 在每一点局部看来 他们就像一片复平面 但整体的拓扑可能极为不同 例如 他们可以看起来像球或是环 或者两个页面粘在一起 函数f z z displaystyle f z sqrt z 的黎曼曲面 黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择 特别是像平方根和自然对数这样的多值函數 每个黎曼曲面都是二维实解析流形 也就是曲面 但它有更多的结构 特别是一个複結構 因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构 一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面 通常有几种不同的方式 当且仅当它是可定向的 所以球和环有複結構 但是莫比乌斯带 克莱因瓶和射影平面没有 黎曼曲面的几何性质是最妙的 它们也给與其它曲线 流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力 黎曼 罗赫定理就是这种影响的最佳例子 目录 1 形式化定义 2 例子 3 属性和更多的定义 4 历史 5 相关主题 6 参考形式化定义 编辑令X为一个豪斯多夫空间 一个从开子集U C到X的子集的同胚称为坐标卡 两个有重叠区域的坐标卡f和g称为相容的 如果映射f o g 1和g o f 1是在定义域上全纯的 若A一组相容的图 并且每个X中的x都在某个f的定义域中 则称A为一个图册 当我们赋予X一个图册A 我们称 X A 为一个黎曼曲面 如果知道有图册 我们简称X为黎曼曲面 不同的图册可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构 为避免这种模糊性 我们有时候要求X为极大的 也就是它不是任何一个更大的图集的子集 根据佐恩引理每个图集A包含于一个唯一的最大图集中 例子 编辑复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了 映射f z z 恒等映射 定义了C的一个图 而 f 是C的一个图集 映射g z z 共轭 映射也定义了C的一个图而 g 也是C的一个图集 图f和g不相容 所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构 事实上 给定黎曼曲面X及其图集A 共轭图集B f f A 总是不和A相容 因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构 类似的 每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面 更一般的 每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面 令S C 并令f z z其中z属于S 并且令g z 1 z其中z属于S 0 以及定义1 为0 则f和g为图 它们相容 而 f g 是S图集 使S成为黎曼曲面 这个特殊的曲面称为黎曼球因为它可以解释为把复平面裹在一个球上 不像复平面 它是一个紧空间 紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效 非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出 见下面 属性和更多的定义 编辑两个黎曼曲面M和N之间的函数f M N称为全纯 如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h 映射h o f o g 1在所有有定义的地方是全纯的 作为从C到C的函数 两个全纯函数的複合是全纯的 两个黎曼曲面M和N称为保角等价 或共形等价 如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的 最后一个条件是自动满足的所以可以略去 两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的 每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C 或开圆盘 z C z lt 1 保角等价 这个命题称为单值化定理 每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率 1 0或1的完备实黎曼流形 这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一 有曲率 1的黎曼曲面称为双曲的 开圆盘是个经典的例子 有曲率0的黎曼曲面称为抛物的 C是典型的抛物黎曼曲面 最后 有曲率 1的黎曼曲面称为椭圆的 黎曼球C 是这样的一个例子 对于每个闭抛物黎曼曲面 基本群同构于2阶格群 因而曲面可以构造为C G 其中C是複平面而G是格群 陪集的代表的集合叫做基本域 类似的 对每个双曲黎曼曲面 基本群同构于富克斯群 因而曲面可以由富克斯模型H G构造 其中H是上半平面而G是富克斯群 H G陪集的代表是自由正则集 可以作为度量基本多边形 当一个双曲曲面是紧的 则曲面的总面积是4 p g 1 displaystyle 4 pi g 1 其中g是曲面的亏格 面积可由把高斯 博内定理应用到基本多边形的面积上来算出 前面我们提到黎曼曲面 象所有複流形 象实流形一样可定向 因为複图f和g有变换函数h f g 1 z 我们可以认为h是从R2开集到R2的映射 在点z的雅可比矩阵也就是由乘以複數h z 的运算给出的实线性变换 但是 乘以複數a的行列式等于 a 2 所以h的雅可比阵有正的行列式值 所以 複图集是可定向图集 历史 编辑黎曼最早开始研究黎曼曲面 黎曼曲面以他命名 相关主题 编辑代数几何 共形几何 黎曼曲率張量 黎曼球面 凯勒流形 泰希米勒空间 兒童畫 Dessin d enfant 和黎曼曲面有关的定理 黎曼 罗赫定理 黎曼 赫尔维茨公式 黎曼映射定理 单值化定理 赫尔维茨自同构定理参考 编辑Hershel M Farkas and Irwin Kra Riemann Surfaces 1980 Springer Verlag New York ISBN 0 387 90465 4 Jurgen Jost Compact Riemann Surfaces 2002 Springer Verlag New York ISBN 3 540 43299 X Riemann Surface 页面存档备份 存于互联网档案馆 on Planet Math 取自 https zh wikipedia org w index php title 黎曼曲面 amp oldid 76115494, 维基百科,wiki ,书籍,书籍,图书馆,
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