Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
二月 15, 2023
黎曼流形, riemannian, manifold, 是一個微分流形, 其中每點p的切空間都定義了點積, 而且其數值隨p平滑地改變, 它容許我們定義弧線長度, 角度, 面積, 體積, 曲率, 函數梯度及向量域的散度, 每個rn的平滑子流形可以导出黎曼度量, 把rn的點積都限制於切空間內, 實際上, 根据纳什嵌入定理, 所有都可以這樣产生, 我們可以定義為和rn的平滑子流形是等距同构的度量空間, 等距是指其内蕴度量, intrinsic, metric, 和上述从rn导出的度量是相同的, 这對建立黎曼幾何是很有用的. 黎曼流形 Riemannian manifold 是一個微分流形 其中每點p的切空間都定義了點積 而且其數值隨p平滑地改變 它容許我們定義弧線長度 角度 面積 體積 曲率 函數梯度及向量域的散度 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量 把Rn的點積都限制於切空間內 實際上 根据纳什嵌入定理 所有黎曼流形都可以這樣产生 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間 等距是指其内蕴度量 intrinsic metric 和上述从Rn导出的度量是相同的 这對建立黎曼幾何是很有用的 黎曼流形可以定义为平滑流形 其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面 它可產生度量空間 如果g a b M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線 我們可以定義它的長度L g 為 L g a b g t d t displaystyle L gamma int a b gamma t dt 注意 g t 是切空間M在g t 點的元素 是切空間的內積所得出的範數 使用这个长度的定义 每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間 甚至是長度度量空間 在x與y兩點之間的距離d x y 定義為 d x y inf L g g是连接x和y的一条光滑曲线 虽然黎曼流形通常是弯曲的 直線 的概念依然存在 那就是測地線 在黎曼流形中 測地線完备的概念 和拓撲完备及度量完备是等价的 每个完备性都可以推出其他的完备性 这就是Hopf Rinow定理的内容 參看 编辑黎曼幾何 芬斯勒流形 黎曼子流形 假黎曼流形參考 编辑Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis 2002 Springer Verlag Berlin ISBN 3 540 4267 2 取自 https zh wikipedia org w index php title 黎曼流形 amp oldid 40064626, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,