Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)
十一月 07, 2023
黎曼几何, 此條目的语调或风格可能不適合百科全書的寫作方式, 2013年12月25日, 請根據指南協助改善这篇条目, 請在讨论页討論問題所在及加以改善, 微分幾何中, 黎曼幾何, 英語, riemannian, geometry, 研究具有黎曼度量的光滑流形, 即流形切空間上二次形式的選擇, 它特別關注于角度, 弧線長度及體積, 把每个微小部分加起來而得出整體的數量, 19世紀, 波恩哈德, 黎曼把這個概念加以推广, 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題, 它成為伪黎曼流形複雜結構的入門, 其. 此條目的语调或风格可能不適合百科全書的寫作方式 2013年12月25日 請根據指南協助改善这篇条目 請在讨论页討論問題所在及加以改善 微分幾何中 黎曼幾何 英語 Riemannian geometry 研究具有黎曼度量的光滑流形 即流形切空間上二次形式的選擇 它特別關注于角度 弧線長度及體積 把每个微小部分加起來而得出整體的數量 19世紀 波恩哈德 黎曼把這個概念加以推广 1 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題 它成為伪黎曼流形複雜結構的入門 其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象 目录 1 黎曼几何古典理論 1 1 一般理論 1 2 理論 1 2 1 受限截面曲率 1 2 2 正曲率 1 2 2 1 正截面曲率 1 2 2 2 正里奇曲率 1 2 2 3 数量曲率 1 2 3 負曲率 1 2 3 1 負截面曲率 1 2 3 2 負里奇曲率 2 參見 3 參考文献黎曼几何古典理論 编辑 nbsp 伯恩哈德 黎曼一般理論 编辑 高斯 博内定理 紧致二維黎曼流形上高斯曲率的积分等於2 p x M displaystyle 2 pi chi M nbsp 這裡的x M displaystyle chi M nbsp 記作M的欧拉示性数 纳什嵌入定理 两个 被稱為黎曼幾何的基礎理論 他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rn 理論 编辑 所有给出的定理中 都将用空间的局部行为 通常用曲率假设表述 来推出空间的整体结构的一些信息 包括流形的拓扑类型和 足够大 距离的点间的关系 受限截面曲率 编辑 1 4 受限 球定理 若M是完备n 维黎曼流形 其截面曲率严格限制于1和4之间 则M同胚于n 球 Cheeger s有限定理 给定常数C和D 只有有限个 微分同胚的流形算作一个 紧n 维黎曼流形 其截面曲率 K C displaystyle K leq C nbsp 并且直径 D displaystyle leq D nbsp Gromov的几乎平坦流形 存在一个ϵ n gt 0 displaystyle epsilon n gt 0 nbsp 使得如果一个n 维黎曼流形其度量的截面曲率 K ϵ n displaystyle K leq epsilon n nbsp 且直径 1 displaystyle leq 1 nbsp 则其有限覆盖微分同胚于一个零流形 正曲率 编辑 正截面曲率 编辑 灵魂定理 若M是一个不紧的完备正曲率n 维黎曼流形 则它微分同胚于Rn Gromov的贝蒂数定理 有一个常数C C n 使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n 维黎曼流形 则它的贝蒂数之和不超过C 正里奇曲率 编辑 Myers定理 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限 分裂定理 若一个完备的n 维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线 在任何区间上的距离都极小的测地线 则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备 n 1 维黎曼流形的直积 Bishop s不等式 半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n 维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积 Gromov s紧致性定理 所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov Hausdorff度量下是仿紧的 数量曲率 编辑 n 维环不存在有正数量曲率的度量 若一个紧n 维黎曼流形的单射半径 p displaystyle geq pi nbsp 则数量曲率的平均值不超过n n 1 負曲率 编辑 負截面曲率 编辑 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接 若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形 则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z 设V 是一R displaystyle mathbb R nbsp rank displaystyle geq nbsp 2的紧致不可约局部对称空间 设V是一截面曲率K 0 displaystyle K leq 0 nbsp 的紧致C displaystyle C infty nbsp 黎曼流形 若v o l V v o l V displaystyle vol V vol V nbsp 且p 1 V p 1 V displaystyle pi 1 V pi 1 V nbsp 则V displaystyle V nbsp 与V displaystyle V nbsp 等距 負里奇曲率 编辑 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量 參見 编辑度量張量 黎曼流形 列维 奇维塔联络 曲率 曲率張量 微分幾何主題列表 黎曼及度量幾何詞表參考文献 编辑 maths tcd ie Marcel Berger Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century 2000 University Lecture Series vol 17 American Mathematical Society Rhode Island ISBN 0 8218 2052 4 Provides a historical review and survey including hundreds of references Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis 2002 Springer Verlag Berlin ISBN 3 540 4267 2 Provides a formal introduction written at the grad student level Peter Peterson Riemannian Geometry 1998 Springer Verlag Berlin ISBN 0 387 98212 4 Provides an introduction presented at an undergrad level 取自 https zh wikipedia org w index php title 黎曼几何 amp oldid 79627883, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
