度量张量

度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

内容

當选定一個局部坐標系統${\displaystyle x^{i}}$ ，度量張量為二階張量一般表示為 ${\displaystyle \textstyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ ，也可以用矩陣 ${\displaystyle (g_{ij})}$  表示，記作為G或g。而 ${\displaystyle g_{ij}}$  記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

${\displaystyle a}$  到 ${\displaystyle b}$  的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt}$ 

兩個切向量的夾角 ${\displaystyle \theta }$ ,設向量 ${\displaystyle \textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$  和 ${\displaystyle \textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$ ，定義為：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}}$ 

若 ${\displaystyle f}$  為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 ${\displaystyle G}$ ，由以下方程式計算得出：

${\displaystyle G=J^{T}J}$ 

${\displaystyle J}$  表示 ${\displaystyle f}$  的雅可比矩阵，它的轉置为 ${\displaystyle J^{T}}$ 。著名例子有 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  之間從極座標 ${\displaystyle (r,\theta )}$  到直角座標 ${\displaystyle (x,y)}$  的座標變換，在這例子裡有：

${\displaystyle x=r\cos \theta }$ 

${\displaystyle y=r\sin \theta }$ 

這映射的雅可比矩陣為

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$ 

所以

${\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$ 

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ，一致。

例子

歐幾里德幾何度量

二維歐幾里德度量張量：

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2}}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}$ 

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}}$ 

圓柱坐標系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

球坐標系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}$ 

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,}$ 

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$ 

參看

• 偽黎曼度量