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梯度, 此條目已列出參考文獻, 但文內引註不足, 部分內容的來源仍然不明, 2019年6月25日, 请加上合适的文內引註来改善此条目, 关于同名角度单位, 请见, 在向量微积分中, 英語, gradient, 是一种关于多元导数的概括, 平常的一元, 单变量, 函数的导数是标量值函数, 而多元函数的是向量值函数, 多元可微函数f, displaystyle, 在点p, displaystyle, 上的, 是以f, displaystyle, 在p, displaystyle, 上的偏导数为分量的向量, 上面两个图中. 此條目已列出參考文獻 但文內引註不足 部分內容的來源仍然不明 2019年6月25日 请加上合适的文內引註来改善此条目 关于同名角度单位 请见 梯度 角 在向量微积分中 梯度 英語 gradient 是一种关于多元导数的概括 1 平常的一元 单变量 函数的导数是标量值函数 而多元函数的梯度是向量值函数 多元可微函数f displaystyle f 在点P displaystyle P 上的梯度 是以f displaystyle f 在P displaystyle P 上的偏导数为分量的向量 2 上面两个图中 标量场的值用灰度表示 越暗表示越大的数值 而其相应的梯度用藍色箭头表示 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率 3 如果多元函数在点P displaystyle P 上的梯度不是零向量 則它的方向是这个函数在P displaystyle P 上最大增长的方向 而它的量是在这个方向上的增长率 4 梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量 5 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵 6 在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是弗雷歇导数 目录 1 梯度的解释 2 定義 2 1 直角坐標系 2 2 圓柱坐標系 2 3 球坐標系 3 实值函数相对于向量和矩阵的梯度 3 1 对向量的梯度 3 2 对矩阵的梯度 3 3 法则 4 流形上的梯度 5 参看 6 参考文献 6 1 引用 6 2 来源梯度的解释 编辑 将2D函数f x y xe x2 y2 的梯度绘制为蓝色箭头 还绘制了这个函数的伪色图 假設有一个房间 房间内所有点的温度由一个标量场ϕ displaystyle phi 给出的 即点 x y z displaystyle x y z 的温度是ϕ x y z displaystyle phi x y z 假设温度不随时间改变 然后 在房间的每一点 该点的梯度将显示变热最快的方向 梯度的大小将表示在该方向上的溫度變化率 考虑一座高度在 x y displaystyle x y 点是H x y displaystyle H x y 的山 H displaystyle H 这一点的梯度是在该点坡度 或者说斜度 最陡的方向 梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡 梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度 再次考虑山坡的例子 可以有条直接上山的路其坡度是最大的 则其坡度是梯度的大小 也可以有一条和上坡方向成一个角度的路 例如投影在水平面上的夹角为60 则 若最陡的坡度是40 这条路的坡度小一点 是20 也就是40 乘以60 的余弦 这个现象可以如下数学的表示 山的高度函数H displaystyle H 的梯度点积一个单位向量给出表面在该向量的方向上的斜率 这称为方向導數 定義 编辑 将函数f x y cos2x cos2y 2 的梯度描绘为在底面上投影的向量场 純量函数 f R n R displaystyle f colon mathbb R n mapsto mathbb R 的梯度表示為 f displaystyle nabla f 或grad f displaystyle operatorname grad f 其中 displaystyle nabla nabla 表示向量微分算子 函數 f displaystyle f 的梯度 f displaystyle nabla f 為向量場且對任意單位向量 v 滿足下列方程式 f x v D v f x displaystyle big nabla f x big cdot mathbf v D mathbf v f x 直角坐標系 编辑 f displaystyle nabla f 在三维直角坐标系中表示为 f f x f y f z f x i f y j f z k displaystyle nabla f begin pmatrix frac partial f partial x frac partial f partial y frac partial f partial z end pmatrix frac partial f partial x mathbf i frac partial f partial y mathbf j frac partial f partial z mathbf k i j k 為標準的單位向量 分別指向 x y 跟 z 座標的方向 参看偏导数和向量 虽然使用坐标表达 但结果是在正交变换下不变 从几何的观点来看 这是应该的 舉例來講 函数f x y z 2 x 3 y 2 sin z displaystyle f x y z 2x 3y 2 sin z 的梯度为 f 2 6 y cos z 2 i 6 y j cos z k displaystyle nabla f begin pmatrix 2 6y cos z end pmatrix 2 mathbf i 6y mathbf j cos z mathbf k 圓柱坐標系 编辑 在圓柱座標系中 f displaystyle f 的梯度為 7 f r f z f r e r 1 r f f e f f z e z displaystyle nabla f rho varphi z frac partial f partial rho mathbf e rho frac 1 rho frac partial f partial varphi mathbf e varphi frac partial f partial z mathbf e z r 是 P 點與 z 軸的垂直距離 f 是線 OP 在 xy 面的投影線與正 x 軸之間的夾角 z 與直角坐標的 z displaystyle z 等值 er ef 跟 ez 為單位向量 指向座標的方向 球坐標系 编辑 在球座標系中 f r 8 f f r e r 1 r f 8 e 8 1 r sin 8 f f e f displaystyle nabla f r theta varphi frac partial f partial r mathbf e r frac 1 r frac partial f partial theta mathbf e theta frac 1 r sin theta frac partial f partial varphi mathbf e varphi 其中8 为极角 f 方位角 实值函数相对于向量和矩阵的梯度 编辑相对于n 1向量x的梯度算子记作 x displaystyle nabla boldsymbol x 定义为 8 x d e f x 1 x 2 x n T x displaystyle nabla boldsymbol x overset underset mathrm def left frac partial partial x 1 frac partial partial x 2 cdots frac partial partial x n right T frac partial partial boldsymbol x 对向量的梯度 编辑 以n 1实向量x为变元的实标量函数f x 相对于x的梯度为一n 1列向量x 定义为 x f x d e f f x x 1 f x x 2 f x x n T f x x displaystyle nabla boldsymbol x f boldsymbol x overset underset mathrm def left frac partial f boldsymbol x partial x 1 frac partial f boldsymbol x partial x 2 cdots frac partial f boldsymbol x partial x n right T frac partial f boldsymbol x partial boldsymbol x m维行向量函数f x f 1 x f 2 x f m x displaystyle boldsymbol f boldsymbol x f 1 boldsymbol x f 2 boldsymbol x cdots f m boldsymbol x 相对于n维实向量x的梯度为一n m矩阵 定义为 x f x d e f f 1 x x 1 f 2 x x 1 f m x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 2 f m x x 2 f 1 x x n f 2 x x n f m x x n f x x displaystyle nabla boldsymbol x boldsymbol f boldsymbol x overset underset mathrm def begin bmatrix frac partial f 1 boldsymbol x partial x 1 amp frac partial f 2 boldsymbol x partial x 1 amp cdots amp frac partial f m boldsymbol x partial x 1 frac partial f 1 boldsymbol x partial x 2 amp frac partial f 2 boldsymbol x partial x 2 amp cdots amp frac partial f m boldsymbol x partial x 2 vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial f 1 boldsymbol x partial x n amp frac partial f 2 boldsymbol x partial x n amp cdots amp frac partial f m boldsymbol x partial x n end bmatrix frac partial boldsymbol f boldsymbol x partial boldsymbol x 对矩阵的梯度 编辑 标量函数f A displaystyle f boldsymbol A 相对于m n实矩阵A的梯度为一m n矩阵 简称梯度矩阵 定义为 A f A d e f f A a 11 f A a 12 f A a 1 n f A a 21 f A a 22 f A a 2 n f A a m 1 f A a m 2 f A a m n f A A displaystyle nabla boldsymbol A f boldsymbol A overset underset mathrm def begin bmatrix frac partial f boldsymbol A partial a 11 amp frac partial f boldsymbol A partial a 12 amp cdots amp frac partial f boldsymbol A partial a 1n frac partial f boldsymbol A partial a 21 amp frac partial f boldsymbol A partial a 22 amp cdots amp frac partial f boldsymbol A partial a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial f boldsymbol A partial a m1 amp frac partial f boldsymbol A partial a m2 amp cdots amp frac partial f boldsymbol A partial a mn end bmatrix frac partial boldsymbol f boldsymbol A partial boldsymbol A 法则 编辑 以下法则适用于实标量函数对向量的梯度以及对矩阵的梯度 线性法则 若f A displaystyle f boldsymbol A 和g A displaystyle g boldsymbol A 分别是矩阵A的实标量函数 c1和c2为实常数 则 c 1 f A c 2 g A A c 1 f A A c 2 g A A displaystyle frac partial c 1 f boldsymbol A c 2 g boldsymbol A partial boldsymbol A c 1 frac partial f boldsymbol A partial boldsymbol A c 2 frac partial g boldsymbol A partial boldsymbol A 乘积法则 若f A displaystyle f boldsymbol A g A displaystyle g boldsymbol A 和h A displaystyle h boldsymbol A 分别是矩阵A的实标量函数 则 f A g A A g A f A A f A g A A displaystyle frac partial f boldsymbol A g boldsymbol A partial boldsymbol A g boldsymbol A frac partial f boldsymbol A partial boldsymbol A f boldsymbol A frac partial g boldsymbol A partial boldsymbol A f A g A h A A g A h A f A A f A h A g A A f A g A h A A displaystyle frac partial f boldsymbol A g boldsymbol A h boldsymbol A partial boldsymbol A g boldsymbol A h boldsymbol A frac partial f boldsymbol A partial boldsymbol A f boldsymbol A h boldsymbol A frac partial g boldsymbol A partial boldsymbol A f boldsymbol A g boldsymbol A frac partial h boldsymbol A partial boldsymbol A 商法则 若g A 0 displaystyle g boldsymbol A neq 0 则 f A g A A 1 g A 2 g A f A A f A g A A displaystyle frac partial f boldsymbol A g boldsymbol A partial boldsymbol A frac 1 g boldsymbol A 2 left g boldsymbol A frac partial f boldsymbol A partial boldsymbol A f boldsymbol A frac partial g boldsymbol A partial boldsymbol A right 链式法则 若A为m n矩阵 且y f A displaystyle y f boldsymbol A 和g y displaystyle g y 分别是以矩阵A和标量y为变元的实标量函数 则 g f A A d g y d y f A A displaystyle frac partial g f boldsymbol A partial boldsymbol A frac dg y dy frac partial f boldsymbol A partial boldsymbol A 流形上的梯度 编辑一个黎曼流形M displaystyle M 上的对于任意可微函数f displaystyle f 的梯度 f displaystyle nabla f 是一个向量场 使得对于每个向量 3 displaystyle xi f 3 3 f displaystyle langle nabla f xi rangle xi f 其中 displaystyle langle cdot cdot rangle 代表M displaystyle M 上的内积 度量 而 3 f p p M displaystyle xi f p p in M 是f displaystyle f 在點p displaystyle p 方向為3 p displaystyle xi p 的方向導數 换句话说 如果f U M R n displaystyle varphi U subseteq M mapsto mathbb R n 為p displaystyle p 附近的局部座標 在此座標下有3 x j a j x x j displaystyle xi x sum j a j x frac partial partial x j 則3 f p displaystyle xi f p 将成为 3 f p j a j x j f f 1 f p displaystyle xi f mid p sum j a j frac partial partial x j f circ varphi 1 mid varphi p 函数的梯度和外微分相关 因为3 f d f 3 displaystyle xi f df xi 实际上內積容许我们可以用一种标准的方式将1 形式d f displaystyle df 和向量场 f displaystyle nabla f 建立联系 由 f displaystyle nabla f 的定義 d f 3 f 3 displaystyle df xi langle nabla f xi rangle 这样f displaystyle f 的梯度可以 等同 于0 形式的外微分d f displaystyle df 這裡 等同 意味著 兩集合 d f displaystyle df 和 f displaystyle nabla f 之間有1對1的滿射 由定義可算流形上 f displaystyle nabla f 的局部座標表達式為 f i k g i k f x k x i displaystyle nabla f sum ik g ik frac partial f partial x k frac partial partial x i 請注意這是流形上對黎曼度量 d s 2 i j g i j d x i d x j displaystyle ds 2 sum ij g ij dx i dx j 的公式 跟R n displaystyle mathbb R n 裡直角座標的公式不同 常常我們寫時會省略求和 displaystyle sum 符號 不過為了避免混淆 在這裡的公式還是加上去了 参看 编辑雅可比矩阵 散度 旋度 偏导数 索貝爾算子 向量分析 离子梯度 梯度下降法 等位集合 Level set 外微分 在圆柱和球坐标系中的del参考文献 编辑引用 编辑 Beauregard amp Fraleigh 1973 p 84 Bachman 2007 p 76 Beauregard amp Fraleigh 1973 p 84 Downing 2010 p 316 Harper 1976 p 15 Kreyszig 1972 p 307 McGraw Hill 2007 p 196 Moise 1967 p 683 Protter amp Morrey Jr 1970 p 714 Swokowski et al 1994 p 1038 Protter amp Morrey Jr 1970 pp 21 88 Bachman 2007 p 77 Downing 2010 pp 316 317 Kreyszig 1972 p 309 McGraw Hill 2007 p 196 Moise 1967 p 684 Protter amp Morrey Jr 1970 p 715 Swokowski et al 1994 pp 1036 1038 1039 Kreyszig 1972 pp 308 309 Stoker 1969 p 292 Beauregard amp Fraleigh 1973 pp 87 248 Kreyszig 1972 pp 333 353 496 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