正交变换, 在線性代數中, 正交轉換是線性轉換的一種, 如果对于任意向量u, displaystyle, mathbf, 和v, displaystyle, mathbf, 其內積等於正交轉換後之向量t, displaystyle, displaystyle, mathbf, 和t, displaystyle, displaystyle, mathbf, 之內積, 则称之为, displaystyle, langle, mathbf, mathbf, rangle, langle, mathbf, mathbf, . 在線性代數中 正交轉換是線性轉換的一種 如果对于任意向量u displaystyle mathbf u 和v displaystyle mathbf v 其內積等於正交轉換後之向量T u displaystyle T displaystyle mathbf u 和T v displaystyle T displaystyle mathbf v 之內積 则称之为正交变换 u v T u T v displaystyle langle mathbf u mathbf v rangle langle T mathbf u T mathbf v rangle 按照长度的定义 可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同 1 T x x displaystyle T mathbf x mathbf x 其中 x displaystyle mathbf x 在空間R n displaystyle R n 內 n displaystyle n 表示維度 u v T u T v n 0 N 1 u n v n displaystyle langle mathbf u mathbf v rangle langle T mathbf u T mathbf v rangle textstyle sum n 0 N 1 u n v n displaystyle 其中N displaystyle N 為向量長度 u n displaystyle u n 和v n displaystyle v n 分別為u displaystyle mathbf u 和v displaystyle mathbf v 之元素 正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度 在矩陣表示形式上 如果T x A x displaystyle T mathbf x mathbf A mathbf x 為正交變換 則為A displaystyle mathbf A 正交矩陣 對於正交變換之正交矩陣A displaystyle mathbf A 其每個列互為正交 令A displaystyle mathbf A 為M N displaystyle M times N 之矩陣 取兩個不相同的列ϕ k displaystyle phi k 和ϕ h displaystyle phi h k h displaystyle k neq h 遵守下列關係 ϕ k ϕ h 0 displaystyle langle phi k phi h rangle 0 目录 1 性質 2 範例和應用 3 参见 4 参考文献性質 编辑1 正交變換T displaystyle T nbsp 不會改變向量間的正交性 如果u displaystyle mathbf u nbsp 和v displaystyle mathbf v nbsp 正交 則T u displaystyle T displaystyle mathbf u nbsp 和T v displaystyle T displaystyle mathbf v nbsp 亦為正交 P r o o f displaystyle Proof nbsp 根據畢氏定理 正交變換後的向量會符合下式 T u T v 2 T u 2 T v 2 displaystyle T mathbf u T mathbf v 2 T mathbf u 2 T mathbf v 2 nbsp 因為正交變換屬於線性轉換 T u T v 2 T u v 2 displaystyle T mathbf u T mathbf v 2 T mathbf u mathbf v 2 nbsp 正交變換前後向量的長度相同 T u T v 2 u v 2 displaystyle T mathbf u T mathbf v 2 mathbf u mathbf v 2 nbsp 再根據畢氏定理 且和正交 u v 2 u 2 v 2 displaystyle mathbf u mathbf v 2 mathbf u 2 mathbf v 2 nbsp 再根據正交變換的性質 正交變換前後向量的長度相同 u 2 v 2 T u 2 T v 2 displaystyle mathbf u 2 mathbf v 2 T mathbf u 2 T mathbf v 2 nbsp 2 如果A displaystyle mathbf A nbsp 和B displaystyle mathbf B nbsp 皆為正交矩陣 則A B displaystyle mathbf AB nbsp 亦為正交矩陣 P r o o f displaystyle Proof nbsp 令一正交變換為 T x A B x displaystyle T mathbf x mathbf ABx nbsp 正交變換後長度不變 T x A B x A B x B x x displaystyle T mathbf x mathbf ABx mathbf A Bx mathbf Bx mathbf x nbsp 3 如果A displaystyle mathbf A nbsp 為正交矩陣 A displaystyle mathbf A nbsp 的反矩陣A 1 displaystyle mathbf A 1 nbsp 亦為正交矩陣 P r o o f displaystyle Proof nbsp 令一正交變換為 T x A x displaystyle T mathbf x mathbf Ax nbsp 單位矩陣I displaystyle mathbf I nbsp 和x displaystyle mathbf x nbsp 相乘為x displaystyle mathbf x nbsp 自己 且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣 I x A A 1 x x displaystyle mathbf Ix mathbf AA 1 x mathbf x nbsp 正交變換後長度不變 A A 1 x A A 1 x x displaystyle mathbf AA 1 x mathbf A A 1 x mathbf x nbsp 4 正交變換容易做反運算P r o o f displaystyle Proof nbsp 令ㄧ正交矩陣A displaystyle mathbf A nbsp A displaystyle mathbf A nbsp 和A H displaystyle mathbf A H nbsp 相乘為一對角矩陣D displaystyle mathbf D nbsp 其中上標H displaystyle H nbsp 表示Hermitain運算 A A H D displaystyle mathbf A mathbf A H mathbf D nbsp 將D displaystyle mathbf D nbsp 乘上自己的反矩陣D 1 displaystyle mathbf D 1 nbsp 可得一單為矩陣I displaystyle mathbf I nbsp D D 1 I displaystyle mathbf D mathbf D 1 mathbf I nbsp 又D displaystyle mathbf D nbsp 可分解為A displaystyle mathbf A nbsp 和A H displaystyle mathbf A H nbsp A A H D 1 I displaystyle mathbf A mathbf A H mathbf D 1 mathbf I nbsp 根據上式 將兩側乘上A displaystyle mathbf A nbsp 的反矩陣A 1 displaystyle mathbf A 1 nbsp 即可得知的反矩陣知公式 A 1 A H D 1 displaystyle mathbf A 1 mathbf A H mathbf D 1 nbsp 計算D displaystyle mathbf D nbsp 的反矩陣D 1 displaystyle mathbf D 1 nbsp 比直接求反矩陣容易 只要相對角線之值做倒數即可 如果A T displaystyle mathbf A T nbsp 的每一行皆為單位向量 則 A 1 A H displaystyle mathbf A 1 mathbf A H nbsp 5 對於正交變換T displaystyle T nbsp 如果u displaystyle mathbf u nbsp 和v displaystyle mathbf v nbsp 可以做內積 T u displaystyle T displaystyle mathbf u nbsp 和T v displaystyle T displaystyle mathbf v nbsp 做內積之值等於u displaystyle mathbf u nbsp 和v displaystyle mathbf v nbsp 做內積之值 2 P r o o f displaystyle Proof nbsp 根據極化恆等式 x y 1 4 x y 2 x y 2 displaystyle langle mathbf x mathbf y rangle frac 1 4 mathbf x mathbf y 2 mathbf x mathbf y 2 nbsp 將上式代入T u displaystyle T displaystyle mathbf u nbsp 和T v displaystyle T displaystyle mathbf v nbsp T u T v 1 4 T u T v 2 T u T v 2 displaystyle langle T mathbf u T mathbf v rangle frac 1 4 T mathbf u T mathbf v 2 T mathbf u T mathbf v 2 nbsp 因為T displaystyle T nbsp 為線性轉換 轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同 T u T v 1 4 T u v 2 T u v 2 displaystyle langle T mathbf u T mathbf v rangle frac 1 4 T mathbf u mathbf v 2 T mathbf u mathbf v 2 nbsp 正交變換前後向量的長度相同 T u T v 1 4 u v 2 u v 2 displaystyle langle T mathbf u T mathbf v rangle frac 1 4 mathbf u mathbf v 2 mathbf u mathbf v 2 nbsp 再根代入u displaystyle mathbf u nbsp 和v displaystyle mathbf v nbsp 之據極化恆等式 T u T v u v displaystyle langle T mathbf u T mathbf v rangle langle mathbf u mathbf v rangle nbsp 範例和應用 编辑正交變換的種類非常的廣 像是discrete Fourier transform discrete cosine sine Hartley transforms Walsh Transform Haar Transform等都屬於正交變換 對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換 這裡會舉出一些簡單的正交變換例子 1 對於r e f l e c t V displaystyle reflect V nbsp 以subspace V displaystyle V nbsp 為基準做鏡射 V displaystyle V nbsp in R n displaystyle R n nbsp 令x displaystyle mathbf x shortparallel nbsp 為平行之向量 x displaystyle mathbf x perp nbsp 為正交之向量 2 r e f l e c t V x 2 x x 2 displaystyle reflect V mathbf x 2 mathbf x shortparallel mathbf x perp 2 nbsp 因為x displaystyle mathbf x shortparallel nbsp 和x displaystyle mathbf x perp nbsp 互為正交 可以根據畢氏定理做分解 r e f l e c t V x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 displaystyle reflect V mathbf x 2 mathbf x shortparallel 2 mathbf x perp 2 mathbf x shortparallel 2 mathbf x perp 2 mathbf x 2 nbsp 2 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣 對於N displaystyle N nbsp 點DFT 可得一個N N displaystyle N times N nbsp 矩陣 且w n e j 2 p n N displaystyle omega n e j2 pi n N nbsp W 1 N 1 1 1 1 1 w w 2 w N 1 1 w 2 w 4 w 2 N 1 1 w N 1 w 2 N 1 w N 1 N 1 displaystyle mathbf W frac 1 sqrt N begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp cdots amp 1 1 amp omega amp omega 2 amp cdots amp omega N 1 1 amp omega 2 amp omega 4 amp cdots amp omega 2 N 1 cdots amp cdots amp cdots amp cdots amp cdots 1 amp omega N 1 amp omega 2 N 1 amp cdots amp omega N 1 N 1 end bmatrix nbsp W displaystyle mathbf W nbsp 為symmetric矩陣 令的W displaystyle mathbf W nbsp 每個列為 w n 1 w n w 2 n w N 1 n displaystyle mathbf w n begin bmatrix 1 amp omega n amp omega 2 n amp cdots amp omega N 1 n end bmatrix nbsp 令任意二列做內積 w m w n w m w n H 1 N k 0 N 1 e j 2 p k m N e j 2 p k n N 1 N k 0 N 1 e j 2 p k m N m n displaystyle langle mathbf w m mathbf w n rangle mathbf w m centerdot mathbf w n H frac 1 N textstyle sum k 0 N 1 e j2 pi km N e j2 pi kn N displaystyle frac 1 N textstyle sum k 0 N 1 e j 2 pi km N m n displaystyle nbsp 上式可以化成pulse function 只有列和自己做內積才為1 displaystyle 1 nbsp 即 w m w n 1 if m n 0 if m n displaystyle langle mathbf w m mathbf w n rangle begin cases 1 amp text if m n 0 amp text if m neq n end cases nbsp 3 正交變換可以參數計算變得容易 令ϕ n displaystyle phi n nbsp 為正交矩陣的列 列彼此互相正交 c n displaystyle c n nbsp 而為ϕ n displaystyle phi n nbsp 對應之參數 即給定下式中的y displaystyle y nbsp 和ϕ n displaystyle phi n nbsp 參數c n displaystyle c n nbsp 之值可以很容易的計算出來 y n 0 N 1 c n ϕ n displaystyle y textstyle sum n 0 N 1 c n phi n displaystyle nbsp 如果要求出c m displaystyle c m nbsp 則將上式與ϕ m displaystyle phi m nbsp 做內積 y ϕ m n 0 N 1 c n ϕ n ϕ m displaystyle langle y phi m rangle textstyle sum n 0 N 1 c n langle phi n phi m rangle displaystyle nbsp 因為在n m displaystyle n neq m nbsp 時 ϕ n displaystyle phi n nbsp 和ϕ m displaystyle phi m nbsp 做內積為0 可得下式 y ϕ m c m ϕ m ϕ m displaystyle langle y phi m rangle c m langle phi m phi m rangle nbsp 最後同除 ϕ m ϕ m displaystyle langle phi m phi m rangle nbsp 即可得到對應之參數 c m y ϕ m ϕ m ϕ m displaystyle c m frac langle y phi m rangle langle phi m phi m rangle nbsp 4 在訊號壓縮上 對於原始訊號 y n 0 N 1 c n ϕ n displaystyle y textstyle sum n 0 N 1 c n phi n displaystyle nbsp 假設進行壓縮 要壓縮成 y n 0 K 1 c n ϕ n displaystyle hat y textstyle sum n 0 K 1 c n phi n displaystyle nbsp 當K N displaystyle K leq N nbsp 時 K displaystyle K nbsp 越大 y y displaystyle y hat y nbsp 越小5 在通訊應用上 會利用正交基來和訊號做調變 正交的特性會使通道間不會互相干擾 参见 编辑瑕旋转 内积空间 线性变换 正交矩阵 酉变换参考文献 编辑 ORTHOGONAL TRANSFORMATIONS AND ORTHOGONAL MATRICES PDF 2017 06 29 原始内容存档 PDF 于2018 05 17 2 0 2 1 Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices PDF 2017 06 29 3 Ding J J 2017 Advanced Digital Signal Processing Powerpoint slides http djj ee ntu edu tw ADSP15 pdf 页面存档备份 存于互联网档案馆 4 Chang C H 2004 Linear Algebra PDF slides http staff csie ncu edu tw chia Course LinearAlgebra sec5 3 pdf 页面存档备份 存于互联网档案馆 5 2007 PDF slides http isites harvard edu fs docs icb topic138287 files Lesson15 Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices slides pdf 取自 https zh wikipedia org w index php title 正交变换 amp oldid 77501884, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,