Kaplan, W. "The Directional Derivative." §2.14 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 135-138, 1991.
Morse, P. M. and Feshbach, H. "Directional Derivatives." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 32-33, 1953.
十月 05, 2023
方向导数, 方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念, 一个标量场在某点沿着某个向量方向上的, 描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率, 方向導數是偏导数的概念的推广, 也是加托导数的一个特例, 目录, 定义, 性质, 最大, 在微分几何中, 法向导数, 参见, 注解, 参考文献定义, 编辑f, displaystyle, mapsto, mathbb, nbsp, 是从, displaystyle, mathbb, nbsp, 上某个开集, displaystyle, nbsp, 映射到实数, di. 方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念 一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数 描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率 1 方向導數是偏导数的概念的推广 也是加托导数的一个特例 目录 1 定义 2 性质 2 1 最大方向导数 3 在微分几何中 4 法向导数 5 参见 6 注解 7 参考文献定义 编辑f U R displaystyle f U mapsto mathbb R nbsp 是从 R n displaystyle mathbb R n nbsp 上某个开集 U displaystyle U nbsp 映射到实数 R displaystyle mathbb R nbsp 的函数 給定 U displaystyle U nbsp 内某点 x x 1 x n displaystyle mathbf x x 1 ldots x n nbsp 以及任意非零向量 v v 1 v n displaystyle mathbf v v 1 ldots v n nbsp 定義一個依賴 x displaystyle mathbf x nbsp 跟 v displaystyle mathbf v nbsp 且從 R displaystyle mathbb R nbsp 映射到 R displaystyle mathbb R nbsp 的函数 f v t f x t v displaystyle f mathbf v t mapsto f mathbf x t mathbf v nbsp 若 f v displaystyle f mathbf v nbsp 对 t displaystyle t nbsp 的微分在 t 0 displaystyle t 0 nbsp 处存在 那么可以定义f displaystyle f nbsp 在點 x displaystyle mathbf x nbsp 沿向量 v displaystyle mathbf v nbsp 的方向导数为 v f x d f v d t t 0 lim t 0 f x t v f x t displaystyle nabla mathbf v f mathbf x left frac mathrm d f mathbf v mathrm d t right t 0 lim t rightarrow 0 frac f mathbf x t mathbf v f mathbf x t nbsp 2 35有些书籍中会较为严格地定义方向导数为函数在某一点沿单位长度向量的方向导数 在这样的上下文中 函数在某点沿向量a displaystyle mathbf a nbsp 方向上的导数 指的是函数在这一点沿着a displaystyle mathbf a nbsp 对应的单位向量a a a displaystyle mathbf hat a frac mathbf a mathbf a nbsp 的方向导数 性质 编辑许多导数的常见性质都适用于方向导数 例如 对于任何在p的邻域内有定义且在点p可微的函数 都有 加法定则 v f g v f v g displaystyle nabla v f g nabla v f nabla v g nbsp 常数因子法则 对于任何常数c v c f c v f displaystyle nabla v cf c nabla v f nbsp 乘法定则 或莱布尼兹法则 v f g g v f f v g displaystyle nabla v fg g nabla v f f nabla v g nbsp 复合函数求导法则 如果g在点p可微且h在g p 可微 则 v h g p h g p v g p displaystyle nabla v h circ g p h g p nabla v g p nbsp dd 如果函數f displaystyle f nbsp 在點x displaystyle mathbf x nbsp 處可微 則沿著任意非零向量v displaystyle mathbf v nbsp 的方向導數都存在 則有 v f x D f x v v f x displaystyle nabla mathbf v f mathbf x mathrm D f mathbf x mathbf v mathbf v cdot nabla f mathbf x nbsp 其中D f x displaystyle mathrm D f mathbf x nbsp 是函数 f displaystyle f nbsp 在點 x displaystyle mathbf x nbsp 的全微分 為一線性映射 displaystyle nabla nbsp 符號表示梯度算子 而 displaystyle cdot nbsp 表示 R n displaystyle mathbb R n nbsp 中的内积 註 在這例子裡 如果線性映射 D f x displaystyle mathrm D f mathbf x nbsp 用矩陣表示且選用自然基底的話 D f x f x displaystyle mathrm D f mathbf x nabla f mathbf x nbsp 為 1 n 的矩陣 如果函数在某一点可微 则其在这一点上沿任何向量的方向导数都存在 但反之则不然 即便一个函数在某一点上沿任何向量的方向导数都存在 它也有可能在这一点上不可微 甚至不连续 最大方向导数 编辑 如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在 则其中必有最大的一个 由柯西不等式可知 方向导数的最大值等于其梯度的范数 当且仅当沿着其梯度的方向时取到 这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向 2 36 在微分几何中 编辑设M是一个可微流形 x是M上的一个点 假设f是在P的邻域内有定义且在点x可微的函数 如果v是M在点x的一个切向量 则f沿着v方向的方向导数可以定义如下 设g 1 1 M是一个可微曲线 g 0 x 且g 0 v 则方向导数定义为 v f x d d t f g t t 0 displaystyle nabla v f x left frac d d tau f circ gamma tau right tau 0 nbsp 法向导数 编辑法向导数是在空间裡沿着某個曲面的法线方向 也就是垂直該曲面 的方向导数 或者更一般地 沿着某个超曲面 hyperface 的法向量的方向导数 参见诺伊曼边界条件 如果法线方向记为n displaystyle vec n nbsp 则函数 f displaystyle f nbsp 的法向导数有时记为 f n displaystyle frac partial f partial n nbsp 参见 编辑梯度 李导数 微分形式 结构张量注解 编辑 Tom Apostol Mathematical Analysis 2nd Ed Addison Wesley 1974 344 345 ISBN 0 201 00288 4 引文格式1维护 冗余文本 link 2 0 2 1 Rodney Coleman Calculus on Normed Vector Spaces Springer 2012 ISBN 9781461438946 参考文献 编辑Kaplan W The Directional Derivative 2 14 in Advanced Calculus 4th ed Reading MA Addison Wesley pp 135 138 1991 Morse P M and Feshbach H Directional Derivatives In Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill pp 32 33 1953 取自 https zh wikipedia org w index php title 方向导数 amp oldid 75022315, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,