Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.
二月 11, 2023
微分, 提示, 此条目的主题不是学, 函数的, 英語, differential, function, 是指对函数的局部变化的一种线性描述, 可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时, 函数的值是怎样改变的, 在数学中的定义, 由y是x的函數, 從簡單的x, y座標系來看, 自變數x有微小的變化量時, 應變數y也會跟著變動, 但x跟y的變化量都是極小的, 當x有極小的變化量時, 我們稱對x, 主要用於線性函數的改變量, 這是微积分的基本概念之一, 当某些函数f, displaystyle, textstyl. 提示 此条目的主题不是微分学 函数的微分 英語 Differential of a function 是指对函数的局部变化的一种线性描述 微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时 函数的值是怎样改变的 微分在数学中的定义 由y是x的函數 y f x 從簡單的x y座標系來看 自變數x有微小的變化量時 d dx 應變數y也會跟著變動 但x跟y的變化量都是極小的 當x有極小的變化量時 我們稱對x微分 微分主要用於線性函數的改變量 這是微积分的基本概念之一 当某些函数f displaystyle textstyle f 的自变量x displaystyle textstyle x 有一个微小的改变h displaystyle textstyle h 时 函数的变化可以分解为两个部分 一个部分是线性部分 在一维情况下 它正比于自变量的变化量h displaystyle textstyle h 可以表示成h displaystyle textstyle h 和一个与h displaystyle textstyle h 无关 只与函数f displaystyle textstyle f 及x displaystyle textstyle x 有关的量的乘积 在更广泛的情况下 它是一个线性映射作用在h displaystyle textstyle h 上的值 另一部分是比h displaystyle textstyle h 更高阶的无穷小 也就是说除以h displaystyle textstyle h 后仍然会趋于零 当改变量h displaystyle textstyle h 很小时 第二部分可以忽略不计 函数的变化量约等于第一部分 也就是函数在x displaystyle textstyle x 处的微分 记作f x h displaystyle displaystyle f x h 或d f x h displaystyle displaystyle textrm d f x h 如果一个函数在某处具有以上的性质 就称此函数在该点可微 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分 若函数在某一点无法做到可微 便称函数在该点不可微 在古典的微积分学中 微分被定义为变化量的线性部分 在现代的定义中 微分被定义为将自变量的改变量h displaystyle textstyle h 映射到变化量的线性部分的线性映射d f x displaystyle displaystyle textrm d f x 这个映射也被称为切映射 给定的函数在一点的微分如果存在 就一定是唯一的 目录 1 一元微分 1 1 定义 1 2 和导数的关系 1 3 几何意义 1 4 例子 1 5 微分法则 1 6 极值 2 多元函数微分 2 1 定义 2 2 性质 2 3 例子 3 微分与微分形式 4 参见 5 参考来源一元微分 编辑定义 编辑 函数在一点的微分 其中红线部分是微分量d y displaystyle textrm d y 而d y displaystyle textrm d y 加上灰线部分后是实际的改变量D y displaystyle Delta y 设函数y f x displaystyle y f x 在某区间I displaystyle mathcal I 内有定义 对于I displaystyle mathcal I 内一点x 0 displaystyle x 0 当x 0 displaystyle x 0 变动到附近的x 0 D x displaystyle x 0 Delta x 也在此区间内 时 如果函数的增量D y f x 0 D x f x 0 displaystyle Delta y f x 0 Delta x f x 0 可表示为 D y A D x o D x displaystyle Delta y A Delta x o Delta x 其中A displaystyle A 是不依赖于D x displaystyle Delta x 的常数 而o D x displaystyle o Delta x 是比D x displaystyle Delta x 高阶的无穷小 那么称函数f x displaystyle f x 在点x 0 displaystyle x 0 是可微的 且A D x displaystyle A Delta x 称作函数在点x 0 displaystyle x 0 相应于自变量增量D x displaystyle Delta x 的微分 记作d y displaystyle textrm d y 即d y A D x displaystyle textrm d y A Delta x d y displaystyle textrm d y 是D y displaystyle Delta y 的线性主部 1 141通常把自变量x displaystyle x 的增量D x displaystyle Delta x 称为自变量的微分 记作d x displaystyle textrm d x 即d x D x displaystyle textrm d x Delta x 和导数的关系 编辑 微分和导数是两个不同的概念 但是 对一元函数来说 可微与可导是完全等价的概念 1 141 可微的函数 其微分等于导数乘以自变量的微分d x displaystyle textrm d x 换句话说 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做微商 于是函数y f x displaystyle y f x 的微分又可记作d y f x d x displaystyle textrm d y f x textrm d x 2 几何意义 编辑 设D x displaystyle Delta x 是曲线y f x displaystyle y f x 上的点P displaystyle P 在横坐标上的增量 D y displaystyle Delta y 是曲线在点P displaystyle P 对应D x displaystyle Delta x 在纵坐标上的增量 d y displaystyle textrm d y 是曲线在点P displaystyle P 的切线对应D x displaystyle Delta x 在纵坐标上的增量 当 D x displaystyle left Delta x right 很小时 D y d y displaystyle left Delta y textrm d y right 比 D x displaystyle left Delta x right 要小得多 高阶无穷小 因此在点P displaystyle P 附近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 例子 编辑 设有函数f x x 2 displaystyle f x mapsto x 2 考虑它从某一点x displaystyle x 变到x d x displaystyle x textrm d x 这时 函数的改变量f x d x f x displaystyle f x textrm d x f x 等于 f x d x f x x d x 2 x 2 displaystyle f x textrm d x f x x textrm d x 2 x 2 2 x d x d x 2 A d x o d x displaystyle 2x cdot textrm d x textrm d x 2 A textrm d x o textrm d x 其中的线性主部 A d x 2 x d x displaystyle Adx 2xdx 高阶无穷小是o d x d x 2 displaystyle o textrm d x textrm d x 2 因此函数f displaystyle textstyle f 在点x displaystyle textstyle x 处的微分是d y 2 x d x displaystyle textrm d y 2x textrm d x 函数的微分与自变量的微分之商d y d x 2 x f x displaystyle frac textrm d y textrm d x 2x f prime x 等于函数的导数 d y d x d a x n d x displaystyle frac mathrm d y mathrm d x frac mathrm d ax n mathrm d x 尤其y a x n displaystyle y ax n n a x n 1 displaystyle nax n 1 以下有一例子 當方程式為y 2 x 2 displaystyle y 2x 2 時 就會有以下的微分過程 d y d x displaystyle frac mathrm d y mathrm d x d 2 x 2 d x displaystyle frac mathrm d 2x 2 mathrm d x 2 2 x 2 1 displaystyle 2 cdot 2x 2 1 4 x displaystyle 4x 微分法则 编辑 和求导一样 微分有类似的法则 例如 如果设函数u displaystyle u v displaystyle v 可微 那么 d a u b v d a u d b v a d u b d v displaystyle d au bv dau dbv adu bdv d u v u d v v d u displaystyle d uv udv vdu d u v v d u u d v v 2 displaystyle d left frac u v right frac vdu udv v 2 若函数y u displaystyle y u 可导 那么d y u y u d u displaystyle d y u y u du 1 139极值 编辑 主条目 极值多元函数微分 编辑主条目 全微分 当自变量是多元变量时 导数的概念已经不适用了 尽管可以定义对某个分量的偏导数 但偏导数只對單一自變量微分 但仍然有微分的概念 定义 编辑 设f displaystyle f 是从欧几里得空间Rn 或者任意一个内积空间 中的一个开集W displaystyle Omega 射到Rm的一个函数 对于W displaystyle Omega 中的一点x displaystyle x 及其在W displaystyle Omega 中的邻域L displaystyle Lambda 中的点x h displaystyle x h 如果存在线性映射A displaystyle A 使得对任意这样的x h displaystyle x h lim h 0 f x h f x A h h 0 displaystyle lim h to 0 left frac f x h f x A h h right 0 那么称函数f displaystyle f 在点x displaystyle x 处可微 线性映射A displaystyle A 叫做f displaystyle f 在点x displaystyle x 处的微分 记作d f x displaystyle textrm d f x 如果f displaystyle f 在点x displaystyle x 处可微 那么它在该点处一定连续 而且在该点的微分只有一个 为了和偏导数区别 多元函数的微分也叫做全微分或全导数 当函数在某个区域的每一点x displaystyle x 都有微分d f x displaystyle textrm d f x 时 可以考虑将x displaystyle x 映射到d f x displaystyle textrm d f x 的函数 d f x d f x displaystyle textrm d f x mapsto textrm d f x 这个函数一般称为微分函数 3 性质 编辑 如果f displaystyle f 是线性映射 那么它在任意一点的微分都等于自身 在Rn 或定义了一组标准基的内积空间 裡 函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画 设f displaystyle f 是从Rn射到Rm的函数 f f 1 f 2 f m displaystyle f f 1 f 2 cdots f m 那么 d f x J f x f 1 x 1 f 1 x n f m x 1 f m x n displaystyle textrm d f x J f x begin bmatrix frac partial f 1 partial x 1 amp cdots amp frac partial f 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots frac partial f m partial x 1 amp cdots amp frac partial f m partial x n end bmatrix 具体来说 对于一个改变量 h h 1 h 2 h n i 1 n h i e i displaystyle h h 1 h 2 ldots h n sum i 1 n h i e i 微分值 d f x h f 1 x 1 f 1 x n f m x 1 f m x n h 1 h n i 1 m j 1 n f i x j h j e i displaystyle textrm d f x h begin bmatrix frac partial f 1 partial x 1 amp cdots amp frac partial f 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots frac partial f m partial x 1 amp cdots amp frac partial f m partial x n end bmatrix begin pmatrix h 1 vdots h n end pmatrix sum i 1 m left sum j 1 n frac partial f i partial x j h j right e i 可微的必要条件 如果函数f displaystyle f 在一点x 0 displaystyle x 0 处可微 那么雅克比矩阵的每一个元素 f i x j x 0 displaystyle frac partial f i partial x j x 0 都存在 但反之不真 4 76 可微的充分条件 如果函数f displaystyle f 在一点x 0 displaystyle x 0 的雅克比矩阵的每一个元素 f i x j x 0 displaystyle frac partial f i partial x j x 0 都在x 0 displaystyle x 0 连续 那么函数在这点处可微 但反之不真 4 77 例子 编辑 函数f x y x 2 y 2 1 x 2 y 2 x y x 1 x 2 y 2 y displaystyle f x y mapsto left x 2 y 2 1 x 2 y 2 x y x 1 x 2 y 2 y right 是一个从R 2 displaystyle mathbb R 2 射到R 3 displaystyle mathbb R 3 的函数 它在某一点 x y displaystyle x y 的雅可比矩阵为 J f x y 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 2 x y 1 1 2 x y 1 x 2 3 y 2 displaystyle J f x y begin bmatrix 2x amp 2y 1 3x 2 y 2 amp 2xy 1 1 2xy amp 1 x 2 3y 2 end bmatrix 微分为 d f x y h J f x y h displaystyle textrm d f x y h mapsto J f x y h 也就是 d f x y h h 1 h 2 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 2 x y 1 1 2 x y 1 x 2 3 y 2 h 1 h 2 2 x h 1 2 y h 2 1 3 x 2 y 2 h 1 2 x y 1 h 2 1 2 x y h 1 1 x 2 3 y 2 h 2 displaystyle textrm d f x y h begin pmatrix h 1 h 2 end pmatrix mapsto begin bmatrix 2x amp 2y 1 3x 2 y 2 amp 2xy 1 1 2xy amp 1 x 2 3y 2 end bmatrix begin pmatrix h 1 h 2 end pmatrix begin pmatrix 2xh 1 2yh 2 1 3x 2 y 2 h 1 2xy 1 h 2 1 2xy h 1 1 x 2 3y 2 h 2 end pmatrix 微分与微分形式 编辑主条目 微分形式 如果说微分是导数的一种推广 那么微分形式则是对于微分函数的再推广 微分函数对每个点x displaystyle x 给出一个近似描述函数性质的线性映射d f x displaystyle textrm d f x 而微分形式对区域D displaystyle mathbf D 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式 w x T D x R displaystyle omega x mathbf TD x longrightarrow mathbb R 在坐标记法下 可以写成 w x 1 i 1 i k n a i 1 i k x d x i 1 d x i k displaystyle omega x sum 1 leq i 1 leq cdots leq i k leq n a i 1 cdots i k x textrm d x i 1 wedge cdots wedge textrm d x i k 其中的d x i displaystyle textrm d x i 是i displaystyle i 射影算子 也就是说将一个向量v displaystyle v 射到它的第i displaystyle i 个分量v i displaystyle v i 的映射 而d x i 1 d x i k displaystyle textrm d x i 1 wedge cdots wedge textrm d x i k 是满足 d x i 1 d x i k v 1 v k v 1 i 1 v 1 i k v k i 1 v k i k displaystyle textrm d x i 1 wedge cdots wedge textrm d x i k v 1 cdots v k begin vmatrix v 1 i 1 amp cdots amp v 1 i k vdots amp ddots amp vdots v k i 1 amp cdots amp v k i k end vmatrix 的k 形式 特别地 当f displaystyle f 是一个从Rn射到R 的函数时 可以将d f x displaystyle textrm d f x 写作 d f x i 1 n f x i x d x i displaystyle textrm d f x sum i 1 n frac partial f partial x i x textrm d x i 正是上面公式的一个特例 5 参见 编辑微分学 微积分 导数 积分 偏导数 外微分 泰勒公式参考来源 编辑 1 0 1 1 1 2 欧阳光中 姚允龙 周渊 编 数学分析 上册 复旦大学出版社 2003 ISBN 7309035704 梁子杰 可微 還是 可導 PDF 數學教育 永久失效連結 微分函数 逢甲大学网路教学实验室 2009 12 24 原始内容存档于2010 05 07 4 0 4 1 徐森林 薛春华 数学分析 第二册 清华大学出版社 2005 ISBN 978 7 302 13141 0 B A 卓里奇 著 蒋铎 钱佩玲 周美珂 邝荣雨 译 数学分析 第二卷 高等教育出版社 2006 ISBN 978 7 040 20257 1 第175 183页 齐民友 重温微积分 高等教育出版社 2004 ISBN 7 040 12931 0 Walter Rudin 数学分析原理 Principles of Mathematical Analysis Mcgraw hill Book Company 1976 ISBN 978 0 070 54235 8 取自 https zh wikipedia org w index php title 微分 amp oldid 72989471, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,