向量分析

向量分析，或称为向量微積分（英語：Vector calculus）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。

向量分析从四元數分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜（英语：Edwin Bidwell Wilson）在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数（英语：Geometric algebra）的方法，它利用可以推广的外积，下文将会讨论。

向量运算

代数运算

主条目：向量

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：

标量乘法

标量场和向量场相乘，产生向量场：${\displaystyle a\mathbf {v} }$  ;

向量加法

两个向量场相加，产生向量场：${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$  ;

內積

两个向量场相乘，产生标量场：${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$  ;

外積

两个向量场相乘，产生向量场：${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$  ;

还有两个三重积：

标量三重积

向量和两个向量叉积的点积： ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$  ;

向量三重积

向量和两个向量叉积的叉积： ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$  或 ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}}$  ;

尽管三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

微分运算

主条目：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	敘述	界域
梯度	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	純量場 ${\displaystyle f}$  於場中某點增加率最大的速率與方向	純量場的梯度是向量場
散度	${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$  於場中某點附近發散或匯聚的程度	向量場的散度是純量場
旋度	${\displaystyle \operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$  於場中某點附近旋轉的程度	向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯算子（英语：Vector Laplacian）	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	對純量場 ${\displaystyle f}$  作梯度運算後，再作散度運算	純量場的拉普拉斯是純量場

定理

同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理	表示	註解
梯度定理	${\displaystyle \int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	平面内向量场中区域的标量旋度，等於向量场沿逆时针方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =}$ ${\displaystyle \oiint }$  ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S} }$	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

参见

• 实函数
• 向量恒等式
• 在圆柱和球坐标系中的del
• 方向导数
• 保守矢量场
• 螺线矢量场
• 拉普拉斯矢量场
• 亥姆霍兹分解
• 正交坐标
• 偏斜坐标
• 曲线坐标
• 张量

延伸阅读

• A History of Vector Analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）