标量乘法(英語:scalar multiplication)是線性代數中向量空間的一種基本運算[1][2][3](更廣義的,是抽象代數的一個模)[4][5])。在直覺上,將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法,也就是將其長度乘以此标量,方向不變。标量一詞也從此用法而來:可將向量缩放的量。标量乘法是將標量和向量相乘,結果得到一向量,和內積將兩向量相乘,得到一純量不同。
「标量乘法」的各地常用別名 |
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中国大陸 | 标量乘法、数乘 |
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港臺 | 純量乘法、係數積 |
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定義 编辑
若K為域,而V為K上的向量空間,标量乘法為從K× V到V的函数。將K中的c和V中的v計算标量乘法,結果記為cv。
性質 编辑
标量乘法符合以下的規則:(粗体表示向量)
- 标量的加成性:(c + d)v = cv + dv;
- 向量的加成性:c(v + w) = cv + cw;
- 标量相乘和标量乘法的結合律:(cd)v = c(dv);
- 乘以1不會改變向量:1v = v;
- 乘以0會得到零向量:0v = 0;
- 乘以-1會得到加法逆元:(−1)v = −v.
其中+表示域或是向量空間的加法,0是域或是向量空間的加法單位元
詮釋 编辑
标量乘法可以視為是向量空間的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的幾何詮釋是向量的拉長,方向可能會對調。
标量乘法中,V也可以是K,則标量乘法就變成域中的乘法。
若V是Kn,标量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘,需另外定義。
若K是交换环而V是K上的模,同樣的定義仍可以適用。 K甚至可以是一個半環,但沒有加法逆元。若K不符合交換律,可以定義左标量乘法cv和右標量乘法vc。
相關 编辑
參考資料 编辑
标量乘法, 提示, 此条目的主题不是點積, 英語, scalar, multiplication, 是線性代數中向量空間的一種基本運算, 更廣義的, 是抽象代數的一個模, 在直覺上, 將一個實數向量和一個正的實數進行, 也就是將其長度乘以此标量, 方向不變, 标量一詞也從此用法而來, 可將向量缩放的量, 是將標量和向量相乘, 結果得到一向量, 和內積將兩向量相乘, 得到一純量不同, 的各地常用別名中国大陸, 数乘港臺純量乘法, 係數積用得到一向量的三倍向量a的, a和2a, 目录, 定義, 性質, 詮釋, 相關, . 提示 此条目的主题不是點積 标量乘法 英語 scalar multiplication 是線性代數中向量空間的一種基本運算 1 2 3 更廣義的 是抽象代數的一個模 4 5 在直覺上 將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法 也就是將其長度乘以此标量 方向不變 标量一詞也從此用法而來 可將向量缩放的量 标量乘法是將標量和向量相乘 結果得到一向量 和內積將兩向量相乘 得到一純量不同 标量乘法 的各地常用別名中国大陸标量乘法 数乘港臺純量乘法 係數積用标量乘法得到一向量的三倍向量a的标量乘法 a和2a 目录 1 定義 1 1 性質 2 詮釋 3 相關 4 參考資料定義 编辑若K為域 而V為K上的向量空間 标量乘法為從K V到V的函数 將K中的c和V中的v計算标量乘法 結果記為cv 性質 编辑 标量乘法符合以下的規則 粗体表示向量 标量的加成性 c d v cv dv 向量的加成性 c v w cv cw 标量相乘和标量乘法的結合律 cd v c dv 乘以1不會改變向量 1v v 乘以0會得到零向量 英语 zero vector 0v 0 乘以 1會得到加法逆元 1 v v 其中 表示域或是向量空間的加法 0是域或是向量空間的加法單位元詮釋 编辑标量乘法可以視為是向量空間的外部二元运算或域的群作用 标量乘法的幾何詮釋是向量的拉長 方向可能會對調 标量乘法中 V也可以是K 則标量乘法就變成域中的乘法 若V是Kn 标量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘 需另外定義 若K是交换环而V是K上的模 同樣的定義仍可以適用 K甚至可以是一個半環 但沒有加法逆元 若K不符合交換律 可以定義左标量乘法cv和右標量乘法vc 相關 编辑統計 力學 乘法參考資料 编辑 Lay David C Linear Algebra and Its Applications 3rd Addison Wesley 2006 ISBN 0 321 28713 4 Strang Gilbert Linear Algebra and Its Applications 4th Brooks Cole 2006 ISBN 0 03 010567 6 Axler Sheldon Linear Algebra Done Right 2nd Springer 2002 ISBN 0 387 98258 2 Dummit David S Foote Richard M Abstract Algebra 3rd John Wiley amp Sons 2004 ISBN 0 471 43334 9 Lang Serge Algebra Graduate Texts in Mathematics Springer 2002 ISBN 0 387 95385 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 标量乘法 amp oldid 74497692, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,
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