任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换。[2]
^Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.
^Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.
十一月 17, 2023
群作用, 数学上, 对称群描述物体的所有对称性, 这是通过的概念来形式化的, 群的每个元素作为一个双射, 或者对称作用, 作用在某个集合上, 在这个情况下, 群称为置换群, 特别是在群有限或者不是线性空间时, 或者变换群, 特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时, 一个群g的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示, 通常该集合有限, 并且可以表述为置换矩阵, 一般在有限的情形作此考虑, 这和作用在有序的线性空间基上是一样的, 給定一個等邊三角形, 通過把所有頂點映射到另一個頂點, 繞三角形中心逆. 数学上 对称群描述物体的所有对称性 这是通过群作用的概念来形式化的 群的每个元素作为一个双射 或者对称作用 作用在某个集合上 在这个情况下 群称为置换群 特别是在群有限或者不是线性空间时 或者变换群 特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时 一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示 通常该集合有限 并且可以表述为置换矩阵 一般在有限的情形作此考虑 这和作用在有序的线性空间基上是一样的 給定一個等邊三角形 通過把所有頂點映射到另一個頂點 繞三角形中心逆時針 120 旋轉 作用 在這個三角形的頂點的集合上 目录 1 定义 2 群作用的种类 3 軌道與穩定化子 3 1 軌道 3 2 不變子集 3 3 不動點與穩定子群 3 4 軌道 穩定點定理與伯恩賽德引理 4 西羅定理 5 範例定义 编辑若G displaystyle mathrm G nbsp 为一个群而X displaystyle mathrm X nbsp 为一个集合 则G displaystyle mathrm G nbsp 在X displaystyle mathrm X nbsp 上的一个 左 群作用是一个二元函数 G X X displaystyle mathrm G times mathrm X rightarrow mathrm X nbsp 其中g G displaystyle g in mathrm G nbsp 和x X displaystyle x in mathrm X nbsp 的像写作g x displaystyle g cdot x nbsp 满足如下两条公理 g h x g h x displaystyle gh cdot x g cdot h cdot x nbsp 对于所有 g h G displaystyle g h in mathrm G nbsp 和 x X displaystyle x in mathrm X nbsp 成立 e x x displaystyle e cdot x x nbsp 对于每个x X displaystyle x in mathrm X nbsp 成立 e displaystyle e nbsp 代表G displaystyle mathrm G nbsp 的么元 从这两条公理 可以得出对于每个g G displaystyle g in mathrm G nbsp 映射x X displaystyle x in mathrm X nbsp 到g x displaystyle g cdot x nbsp 的函数是一个双射 單射以g 1 displaystyle g 1 nbsp 應付 滿射以e displaystyle e nbsp 應付 从X displaystyle mathrm X nbsp 映射到X displaystyle mathrm X nbsp 因此 也可以将G displaystyle mathrm G nbsp 在X displaystyle mathrm X nbsp 上的群作用定义为从G displaystyle mathrm G nbsp 到对称群S X displaystyle S X nbsp 的群同态 若群作用G X X displaystyle mathrm G times mathrm X rightarrow mathrm X nbsp 给定 我们称 G作用于集合X 或者X是一个G 集合 完全一样地 可以定义一个G在X上的右群作用为函数X G X displaystyle mathrm X times mathrm G rightarrow mathrm X nbsp 满足以下公理 x g h x g h displaystyle x cdot gh x cdot g cdot h nbsp x e x displaystyle x cdot e x nbsp 注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序 对于左作用h先作用然后是g 而对于右作用g先作用然后是h 从一个右作用可以构造一个左作用 只要和群上的逆操作复合就可以了 如果r为一右作用 则 l G M M g m r m g 1 displaystyle l G times M to M g m mapsto r m g 1 nbsp 是一左作用 因为 l g h m r m g h 1 r m h 1 g 1 r r m h 1 g 1 r l h m g 1 l g l h m displaystyle l gh m r m gh 1 r m h 1 g 1 r r m h 1 g 1 r l h m g 1 l g l h m nbsp 而 l e m r m e 1 r m e m displaystyle l e m r m e 1 r m e m nbsp 所以在这里 我们只考虑左群作用 因为右作用可以相应推理 群作用的种类 编辑群G作用在集合X上的作用稱為 1 遞移性 Transitive 如果X是一個非空集合 對於每對數對 x y displaystyle in nbsp X 則存在一個g displaystyle in nbsp G 使得g x y displaystyle g cdot x y nbsp 我們就稱此作用為遞移性 忠實性 Faithful 如果群G嵌入 embbeding 到X的置換群中 我們就稱此作用為忠實的 換言之 就是則群G到X的置換群之中為單射 自由性 Free 如果給定 g h G displaystyle g h in G nbsp 存在x X displaystyle x in X nbsp 則有著g x h x g h displaystyle g cdot x h cdot x Rightarrow g h nbsp 則稱為此作用為自由性 正則的 Regular 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的 又稱簡單遞移 英語 simply transitive n 遞移性 n transitive 如果集合X 至少有 n 個元素 對所有不同的元素x1 xn 和所有不同的y1 yn 存在一個 g 在群G 使得 g xk yk 對所有 1 k n 我們就稱其為n 遞移性 本原的 Primitive 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊 block 那我們稱此作用為本原的 可以證明n 遞移性皆為本原的 軌道與穩定化子 编辑軌道 编辑 若x displaystyle x nbsp 是X displaystyle mathrm X nbsp 的一個元素 且群G displaystyle mathrm G nbsp 在X displaystyle mathrm X nbsp 上有著一個作用 那麼x displaystyle x nbsp 的軌道G x displaystyle mathrm G x nbsp 就是指以下列方式定義的X displaystyle mathrm X nbsp 的子集 G x g x g G displaystyle mathrm G x g cdot x g in mathrm G nbsp X displaystyle mathrm X nbsp 的兩個軌道 要不彼此相等 要不然其交集就是空集合 這是因為假如兩個軌道G x displaystyle mathrm G x nbsp 和G y displaystyle mathrm G y nbsp 有一個共通元素a displaystyle a nbsp 那麼就可以找到兩個G displaystyle mathrm G nbsp 中的元素m displaystyle m nbsp 和n displaystyle n nbsp 使得a m x G x displaystyle a m cdot x in mathrm G x nbsp a n y G y displaystyle a n cdot y in mathrm G y nbsp 同時有x m 1 a m 1 n y G y displaystyle x m 1 cdot a m 1 n cdot y in mathrm G y nbsp 反之亦可推出y n 1 a n 1 m x G x displaystyle y n 1 cdot a n 1 m cdot x in mathrm G x nbsp 而這使得這兩個集合所有的元素都相等 一個軌道的例子是陪集 假若H displaystyle mathrm H nbsp 是G displaystyle mathrm G nbsp 的一個子集 且定義G displaystyle mathrm G nbsp 中元素的慣常運算規則為H displaystyle mathrm H nbsp 在G displaystyle mathrm G nbsp 上的一個作用 那麼H displaystyle mathrm H nbsp 的陪集a H displaystyle mathrm aH nbsp a G displaystyle a in mathrm G nbsp 就是a displaystyle a nbsp 的軌道 不變子集 编辑 若S是X的一個子集 群G作用在X上 X 被稱作G set 對於群G中的所有元素 g 以及所有S中的元素 x 有著 g x S displaystyle g cdot x in S nbsp 則我們會說 S在G的作用下是封閉的 或是說 S在G作用下是不變的 不動點與穩定子群 编辑 若x displaystyle x nbsp 是X displaystyle mathrm X nbsp 的一個元素 對於群G displaystyle mathrm G nbsp 中的所有元素g displaystyle g nbsp 而言 都有g x x displaystyle g cdot x x nbsp 那麼就稱x displaystyle x nbsp 是G displaystyle mathrm G nbsp 不變的 G displaystyle mathrm G nbsp invariant 另外若x displaystyle x nbsp 是X displaystyle mathrm X nbsp 的一個元素 則所有使得g x x displaystyle g cdot x x nbsp 的G displaystyle mathrm G nbsp 中的元素g displaystyle g nbsp 構成的集合又稱G displaystyle mathrm G nbsp 對於x displaystyle x nbsp 的穩定子群 stabilizer subgroup of G displaystyle mathrm G nbsp with respect to x displaystyle x nbsp 一般常常將之記作G x displaystyle mathrm Gx nbsp 注意 不要將之與上面軌道的符號混淆 G x displaystyle mathrm Gx nbsp 是G displaystyle mathrm G nbsp 的一個子群 因為根據定義e x x G x displaystyle e cdot x x in mathrm Gx nbsp 因此G displaystyle mathrm G nbsp 的單位元e displaystyle e nbsp 屬於G x displaystyle mathrm Gx nbsp 且假若m G x displaystyle m in mathrm Gx nbsp 那麼m displaystyle m nbsp 的逆元m 1 displaystyle m 1 nbsp 也是G x displaystyle mathrm Gx nbsp 的元素 因為x e x m 1 m x m 1 x displaystyle x e cdot x m 1 m cdot x m 1 cdot x nbsp 軌道 穩定點定理與伯恩賽德引理 编辑 参见 伯恩賽德引理 考慮一個映射f G x G G x displaystyle f G cdot x longrightarrow G G x nbsp 可以證明此映射是一個雙射的函數 而這個映射的結論就是所謂的 軌道 穩定點定理 G x G G x displaystyle G cdot x G G x nbsp 而一個跟軌道 穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理 X G 1 G g G X g displaystyle X G frac 1 G sum g in G X g nbsp 西羅定理 编辑主条目 西羅定理範例 编辑任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g x x 对任意g属于G以及任意x属于X 换句话说 每个群元素对应 X上的恒等置换 2 Lovett Stephen Abstract Algebra Structures and Applications CRC 2015 ISBN 1482248905 Eie amp Chang A Course on Abstract Algebra 2010 145 取自 https zh wikipedia org w index php title 群作用 amp oldid 78576483, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,