向量空间

向量空間是现代数学中的一个基本概念，是線性代數研究的基本对象，是指一組向量及相关的運算即向量加法，純量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合

在现代数学中，向量的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定義

給定域F，F上的向量空間V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

• 向量加法 + : V + V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
• 标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，記作 a ·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

而集合V公理^[1]才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

公理	说明
向量加法的结合律	u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交换律	u + v = v + u
向量加法的单位元	存在一个叫做零向量的元素0 ∈ V，使得对任意u ∈ V都满足u + 0 = u
向量加法的逆元素	对任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
标量乘法与标量的域乘法相容	a(bv) = (ab)v
标量乘法的单位元	域F存在乘法单位元1满足1v = v
标量乘法对向量加法的分配律	a(u + v) = au + av
标量乘法对域加法的分配律	(a + b)v = av + bv

前四個公理說明装备了向量加法的V是交換群，餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。

簡而言之，向量空間是一個F−模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

• 零向量0是唯一的；
• 对任意a ∈ F，a · 0 = 0；
• 对任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法單位元）。
• 如果a ·u = 0，则要么a = 0，要么u = 0。
• 向量加法的逆向量v是唯一的，记作− v。u + (− v)也可以写成u − v，两者都是标准的。
• 对任意u ∈ V，−1 ·u = − u.
• 对任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).

例子

對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，则V稱為複數向量空間；若F是有限域，则V稱為有限域向量空間。

最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
4. 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点${\displaystyle P}$ 都有一个坐标${\displaystyle P(x,y)}$ ，并对应着一个向量${\displaystyle (x,y)}$ 。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组${\displaystyle (x,y)}$ 。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为${\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ ，其中的${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ， ${\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}$  ${\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}$ 

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

${\displaystyle 3x+2y-z=0}$ 

${\displaystyle x+5y+2z=0}$ 

如果${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 和${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 都是解，那么可以验证它们的“和”${\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}$ 也是一组解，因为：

${\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}$ 

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}$ 

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

${\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}$ 

出于和上面类似的理由，方程的两个解${\displaystyle f_{1}}$ 和${\displaystyle f_{2}}$ 的和函数${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间${\displaystyle {0}}$ 。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：${\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}}$ ，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

${\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }$ 

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基${\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}}$ ，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

${\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}}$ 

那么v可以用数组${\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}$ 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)}$  ${\displaystyle e_{2}=(0,1,\cdots ,0)}$  ${\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,1)}$ 

可以证明，存在从任意一个n维的${\displaystyle \mathbf {F} }$ -向量空间到空间${\displaystyle \mathbf {F} ^{n}}$ 的双射。这种关系称为同构。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

${\displaystyle f:\,V\rightarrow W}$  ${\displaystyle \forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)}$ 

所有线性变换的集合记为${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ ，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构${\displaystyle f:\,V\rightarrow W}$ ，那么其逆映射${\displaystyle g:\,W\rightarrow V}$ 也存在，并且对所有的${\displaystyle x\in V,\,y\in W}$ ，都有：

${\displaystyle g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y}$ 

概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

參考文獻

• 《中国大百科全书》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

參考資料

1. Roman 2005, ch. 1, p. 27

外部連結