线性子空间, 或向量子空间, 在线性代数和相关的数学领域中是重要的, 在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为, 子空间, 目录, 定义, 定理, 性质, 例子, 子空间上的运算, 外部链接定义, 编辑在线性代数和其他数学相关领域, 一个, 或向量子空间, u是给定域r, displaystyle, mathfrak, 向量空间v的一个子集, 并且它还是v的加法子群, 同时, 在纯量乘下回到自身, 那么, v上运算在u上的限制导出u的向量空间结构, 我们把u称为v上的向量, 或线性, 子空间, 定理, 编辑设, 是在. 线性子空间 或向量子空间 在线性代数和相关的数学领域中是重要的 在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为 子空间 目录 1 定义 2 定理 3 性质 4 例子 5 子空间上的运算 6 外部链接定义 编辑在线性代数和其他数学相关领域 一个线性子空间 或向量子空间 U是给定域R displaystyle mathfrak R 向量空间V的一个子集 并且它还是V的加法子群 同时 在纯量乘下回到自身 那么 V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构 我们把U称为V上的向量 或线性 子空间 定理 编辑设 V 是在域 K 上的向量空间 并设 W 是 V 的子集 则当且仅当它满足下列三个条件时 W 是个子空间 零向量 0 在 W 中 如果 u 和 v 是 W 的元素 则向量和 u v 是 W 的元素 如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 K 的标量 则标量积 cu 是 W 的元素 性质 编辑对于所有向量空间 V 集合 0 和 V 自身是 V 的子空间 如果 V 是内积空间 则任何 V 的子空间的正交补也是子空间 任意多个向量子空间的交集仍然是向量子空间 注意 两个子空间的并集未必是子空间 例如e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 是V中任意两个线性无关的向量且U 1 lt e 1 gt U 2 lt e 2 gt displaystyle U 1 lt e 1 gt U 2 lt e 2 gt 那么 U 1 displaystyle U 1 U 2 displaystyle U 2 不包含e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 特征化子空间的一种方式它们闭合在线性组合下 就是说 W 是子空间 当且仅当所有 W 的 有限多个 元素的线性组合也属于 W 子空间的定理中条件 2 和 3 是最基本的线性组合 例子 编辑例子 I 设域 K 是实数的集合 R 并设向量空间 V 是欧几里得空间 R3 取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合 则 W 是 V 的子空间 证明 给定 W 中 u 和 v 它们可以表达为 u u1 u2 0 和 v v1 v2 0 则 u v u1 v1 u2 v2 0 0 u1 v1 u2 v2 0 因此 u v 也是 W 的元素 给定 W 中 u 和 R 中标量 c 如果 u u1 u2 0 则 cu cu1 cu2 c0 cu1 cu2 0 因此 cu 也 是 W 的元素 例子 II 设域是 R 设向量空间是欧几里得几何 R2 取 W 为 R2 的使得 x y 的所有点 x y 的集合 则 W 是 R2 的子空间 证明 设 p p1 p2 且 q q1 q2 是 W 的元素 就是说 在平面上的点使得 p1 p2 且 q1 q2 则 p q p1 q1 p2 q2 因为 p1 p2 且 q1 q2 则 p1 q1 p2 q2 所以 p q 是 W 的元素 设 p p1 p2 是 W 的元素 就是在平面中点使得 p1 p2 并设 c 是 R 中的标量 则 cp cp1 cp2 因为 p1 p2 则 cp1 cp2 所以 cp 是 W 的元素 一般的说 欧几里得空间 Rn 的定义自齐次线性方程的任何子集都生成子空间 在几何上说 这些子空间是穿过点0的一些点 直线 平面 子空间上的运算 编辑给定向量空间V的子空间 U 和 W 则它们的交集 U W v V v U 且 v W 也是 V 的子空间 证明 设 v 和 w 是 U W 的元素 则 v 和 w 属于 U 和 W 二者 因为 U 是子空间 则 v w 属于 U 类似的 因为 W 是子空间 则 v w 属于 W 所以 v w 属于 U W 设 v 属于 U W 并设 c 是标量 则 v 属于 U 和 W 二者 因为 U 和 W 是子空间 cv 属于 U 和 W 二者 进一步的 和 U W u w u U and w W displaystyle U W mathbf u mathbf w mathbf u in U mbox and mathbf w in W 是一个 V 的子空间 U W 和 U W 的维度满足 dim U W dim U W dim U dim W displaystyle dim U cap W dim U W dim U dim W 外部链接 编辑MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video from MIT OpenCourseWare Vector subspace PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 线性子空间 amp oldid 75950496, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,