欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。
欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。
数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。
公理描述 歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。
欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：
- 从一點向另一點可以引一条直线。
- 任意线段能无限延伸成一条直线。
- 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
- 所有直角都相等。
- 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：
| “ | 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 | ” |
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。
从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。[來源請求]因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
- 与同一事物相等的事物相等。
- 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
- 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
- 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
- 整体大于局部。
现代方法 如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。
首先，定义点的集合为实数对 的集合。给定两个点 和 ，定义距离：
- .
这就是欧几里得度量。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 和 的直线可以定义成点的集合 满足
- 或 。
经典定理参见 欧几里得几何, 此條目没有列出任何参考或来源, 2016年9月5日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 指按照欧几里得的, 几何原本, 构造的几何学, 欧几里得, 有时就指二维平面上的几何, 即平面几何, 本文主要描述平面几何, 三维空间的通常叫做立体几何, 高维的情形请参看欧几里得空间, 数学上, 是二维平面和三维空间中的几何, 基于點線面公設, 数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何, 其中公設五又稱之為平行公設, paral. 此條目没有列出任何参考或来源 2016年9月5日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 欧几里得几何指按照欧几里得的 几何原本 构造的几何学 欧几里得 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何 即平面几何 本文主要描述平面几何 三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何 高维的情形请参看欧几里得空间 数学上 欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何 基于點線面公設 数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何 其中公設五又稱之為平行公設 Parallel Axiom 敘述比較複雜 這個公設衍生出 三角形內角和等於一百八十度 的定理 在高斯 F Gauss 1777年 1855年 的時代 公設五就備受質疑 俄羅斯數學家羅巴切夫斯基 Nikolay Ivanovitch Lobachevski 匈牙利數學家波約 Bolyai 闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇 並非必然的幾何真理 也就是 三角形內角和不一定等於一百八十度 從而發現非歐幾里得的幾何學 即非歐幾何 non Euclidean geometry 目录 1 公理描述 2 现代方法 3 经典定理 4 参见公理描述 编辑 歐幾里得證明的要素 由於一個正三角形的存在必須包含每個線段 包含ABG等邊三角形的構成 是由A和B兩點 畫出圓D與圓E 並且交叉於第三點G上 欧几里得几何的传统描述是一个公理系统 通过有限的公理来证明所有的真命题 欧几里得平面几何的五条公理 公设 是 从一點向另一點可以引一条直线 任意线段能无限延伸成一条直线 给定任意线段 可以以其一个端点作为圆心 该线段作为半径作一个圆 所有直角都相等 若两条直线都与第三条直线相交 并且在同一边的内角之和小于两个直角 则这两条直线在这一边必定相交 第五条公理称为平行公理 平行公设 可以导出下述命题 通过一个不在直线上的点 有且仅有一条不与该直线相交的直线 平行公理并不像其他公理那么显然 许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理 但都没有成功 19世纪 通过构造非欧几里得几何 说明平行公理是不能被证明的 若从上述公理体系中去掉平行公理 则可以得到更一般的几何 即绝对几何 英语 Absolute geometry 从另一方面讲 欧几里得几何的五条公理 公设 并不完备 例如 该几何中的定理 在任意直线段上可作一等边三角形 他用通常的方法进行构造 以线段为半径 分别以线段的两个端点为圆心作圆 将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点 然而 他的公理并不保证这两个圆必定相交 來源請求 因此 许多公理系统的修订版本被提出 其中有希尔伯特公理系统 英语 Hilbert s axioms 欧几里得还提出了五个一般概念 也可以作为公理 当然 之后他还使用量的其他性质 与同一事物相等的事物相等 相等的事物加上相等的事物仍然相等 相等的事物减去相等的事物仍然相等 一个事物与另一事物重合 则它们相等 整体大于局部 现代方法 编辑如今 欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法 而是通过解析几何 通过这种方法 可以像证明定理一样证明欧几里得几何 或非欧几里得几何 中的公理 这一方法没有公理方法那么漂亮 但绝对简练 构造首先 定义点的集合为实数对 x y displaystyle x y 的集合 给定两个点P x y displaystyle P x y 和Q z t displaystyle Q z t 定义距离 P Q x z 2 y t 2 displaystyle PQ sqrt x z 2 y t 2 这就是欧几里得度量 所有其他概念 如直线 角 圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义 例如通过点P displaystyle P 和Q displaystyle Q 的直线可以定义成点的集合A displaystyle A 满足 P Q P A A Q displaystyle PQ PA AQ 或 P Q P A A Q displaystyle PQ pm PA AQ 经典定理 编辑塞瓦定理 梅涅劳斯定理 托勒密定理 海伦公式 九点圆 勾股定理 蝴蝶定理参见 编辑 几何学主题 非欧几里得几何 双曲几何 椭圆几何 取自 https zh wikipedia org w index php title 欧几里得几何 amp oldid 72199248, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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