此条目的主題是幾何學的點。关于与「
点」標題相近或相同的条目，請見「
點 (消歧義)」。
在几何学、拓扑学以及数学的相关分支，空间中的点用于描述给定空间中一种特别的对象，在空间中有类似于体积、面积、长度或其他高维类似物。点是零维度对象。点作为最简单的几何概念，通常作为几何、物理、矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。
數學的點－歷史 编辑
亞里斯多德的著作《論天體》第三冊已經提到數學中的點沒有大小[1][2]，他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素[3]（參見正多面體），並強調這與數學思想相違背[4]：「數學的平面沒有厚度，不能構造物理實體。」他論述說，如果數學平面有厚度，那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面，而數學的點必須有大小才能構成線，但數學已經明確定義數學的點沒有大小，柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡，亞里斯多德陳述說，幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件（而不會變成其它東西）：平面只能分割成平面，而不能分割成線；線只能分割成線，不能分割成點；這樣可以無限分割，而不是像原子論者所說，最後分割到原子（或是基本構成要素）就停止。
因此，早在歐幾里得的《幾何原本》之前，數學的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候，用的字是στιγμὰς，是可見的點（spot），而歐幾里得則（小心翼翼的）採用另一個字σημεῖόν，原意是「標示」（sign）：
σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[5]
這句話的意思是：「點是沒有部分（μέρος）的東西」。點沒有部分，也就沒有大小[6]。這論點源自亞里斯多德的「部分－整體」理論（part–whole theory）：
"the parts are causes of the whole"[7]（整體由部份構成。）
《幾何原本》的阿拉伯文版將σημεῖόν譯為نقطة[8]，意思回到亞里斯多德的可見點[9]；拉丁文版則將σημεῖόν翻譯為punctum[10]，意思是尖物刺成的小洞。
歐幾里得幾何的点 编辑
二维欧式空间中的有限点集(蓝色).在歐幾里得幾何，點是空間中只有位置，沒有大小的圖形。點是整門歐幾里得幾何學的基礎，後者是研究點，線，面，體的一種科學。欧几里得最初含糊的定义点作为「没有部分的东西」。在二维欧式空间，点表示为有序对 ，第一个数习惯表示水平位置，通常记为 ，第二个数习惯表示竖直位置，通常记为 。这思想很易延伸到三维情况，此时一点表示为有序三元组 ，第三个数表示高度，通常记为z。更加一般的情况下，点表示为有序n元组 ，其中n为点所在的空间的维度。
在現代數學語言，任何集合的元素都叫「點」，但與三維空間的點可以没有任何關係。
其他数学分支的点 编辑
在点集拓扑的点，定义为拓扑空间中的集合的元素。
尽管点看作是几何学和拓扑学的主要基本概念，但非交换几何和非点集拓扑等几何和拓扑理论并不需要点的概念。「非点空间」不是作为集合来定义，而是以某种像几何的函数空间结构（代数或逻辑的）：连续函数代数或集合代数。
算術的点 编辑
1點（Basis Point）定義為“百分之零點零一”（0.01%）或“百分點的一百分之一”，可用符號‱表示。它在計算利率、匯率、股票價格等範疇廣泛應用，這些範疇須計算極微小的百分數。簡單來說，一百點＝百分之一（100‱＝1%）、一萬點＝百分之一百＝一（10000‱＝100%＝1）。比較百分數除了可以用百分點，兩個百分數之間的細微差距也可用點來表達，如4.02%與4.05%相差0.03百分點。
參考資料 编辑
- ^ 論天體，第三冊 （页面存档备份，存于互联网档案馆），Thomas Aquinas 翻譯與註解
- ^ 論天體，第三冊 （页面存档备份，存于互联网档案馆），The Internet Classics Archive
- ^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 史丹佛哲學百科
- ^ WHY DOES PLATO'S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS (PDF). [2016-05-23]. （原始内容 (PDF)于2021-04-02）.
- ^ 幾何原本，原文第一冊，定義一 （页面存档备份，存于互联网档案馆），柏修斯數位圖書館
- ^ Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
- ^ Metaphysics, Book V （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Internet Classics Archive
- ^ Euclid, Elements （页面存档备份，存于互联网档案馆），阿拉伯文版
- ^ Wiktionary: نقطة. [2016-05-23]. （原始内容存档于2021-04-02）.
- ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition. [2016-05-23]. （原始内容于2021-04-02）.
此条目的主題是幾何學的點, 关于与, 標題相近或相同的条目, 請見, 消歧義, 在几何学, 拓扑学以及数学的相关分支, 空间中的用于描述给定空间中一种特别的对象, 在空间中有类似于体积, 面积, 长度或其他高维类似物, 是零维度对象, 作为最简单的几何概念, 通常作为几何, 物理, 矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分, 目录, 數學的點, 歷史, 歐幾里得幾何的, 其他数学分支的, 算術的, 參考資料數學的點, 歷史, 编辑亞里斯多德的著作, 論天體, 第三冊已經提到數學中的點沒有大小, 他依此來駁斥柏拉圖將數. 此条目的主題是幾何學的點 关于与 点 標題相近或相同的条目 請見 點 消歧義 在几何学 拓扑学以及数学的相关分支 空间中的点用于描述给定空间中一种特别的对象 在空间中有类似于体积 面积 长度或其他高维类似物 点是零维度对象 点作为最简单的几何概念 通常作为几何 物理 矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分 目录 1 數學的點 歷史 2 歐幾里得幾何的点 3 其他数学分支的点 4 算術的点 5 參考資料數學的點 歷史 编辑亞里斯多德的著作 論天體 第三冊已經提到數學中的點沒有大小 1 2 他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素 3 參見正多面體 並強調這與數學思想相違背 4 數學的平面沒有厚度 不能構造物理實體 他論述說 如果數學平面有厚度 那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面 而數學的點必須有大小才能構成線 但數學已經明確定義數學的點沒有大小 柏拉圖的理論與數學相牴觸 從這裡 亞里斯多德陳述說 幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件 而不會變成其它東西 平面只能分割成平面 而不能分割成線 線只能分割成線 不能分割成點 這樣可以無限分割 而不是像原子論者所說 最後分割到原子 或是基本構成要素 就停止 因此 早在歐幾里得的 幾何原本 之前 數學的點只用來標示位置的用法已經是共識 亞里斯多德提到點的時候 用的字是stigmὰs 是可見的點 spot 而歐幾里得則 小心翼翼的 採用另一個字shmeῖon 原意是 標示 sign shmeῖon ἐstin oὗ meros oὐ8en 5 這句話的意思是 點是沒有部分 meros 的東西 點沒有部分 也就沒有大小 6 這論點源自亞里斯多德的 部分 整體 理論 part whole theory the parts are causes of the whole 7 整體由部份構成 幾何原本 的阿拉伯文版將shmeῖon譯為نقطة 8 意思回到亞里斯多德的可見點 9 拉丁文版則將shmeῖon翻譯為punctum 10 意思是尖物刺成的小洞 歐幾里得幾何的点 编辑 nbsp 二维欧式空间中的有限点集 蓝色 在歐幾里得幾何 點是空間中只有位置 沒有大小的圖形 點是整門歐幾里得幾何學的基礎 後者是研究點 線 面 體的一種科學 欧几里得最初含糊的定义点作为 没有部分的东西 在二维欧式空间 点表示为有序对 x y displaystyle x y nbsp 第一个数习惯表示水平位置 通常记为x displaystyle x nbsp 第二个数习惯表示竖直位置 通常记为y displaystyle y nbsp 这思想很易延伸到三维情况 此时一点表示为有序三元组 x y z displaystyle x y z nbsp 第三个数表示高度 通常记为z 更加一般的情况下 点表示为有序n元组 a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 a n nbsp 其中n为点所在的空间的维度 在現代數學語言 任何集合的元素都叫 點 但與三維空間的點可以没有任何關係 其他数学分支的点 编辑在点集拓扑的点 定义为拓扑空间中的集合的元素 尽管点看作是几何学和拓扑学的主要基本概念 但非交换几何和非点集拓扑等几何和拓扑理论并不需要点的概念 非点空间 不是作为集合来定义 而是以某种像几何的函数空间结构 代数或逻辑的 连续函数代数或集合代数 算術的点 编辑1點 Basis Point 定義為 百分之零點零一 0 01 或 百分點的一百分之一 可用符號 表示 它在計算利率 匯率 股票價格等範疇廣泛應用 這些範疇須計算極微小的百分數 簡單來說 一百點 百分之一 100 1 一萬點 百分之一百 一 10000 100 1 比較百分數除了可以用百分點 兩個百分數之間的細微差距也可用點來表達 如4 02 與4 05 相差0 03百分點 參考資料 编辑 論天體 第三冊 页面存档备份 存于互联网档案馆 Thomas Aquinas 翻譯與註解 論天體 第三冊 页面存档备份 存于互联网档案馆 The Internet Classics Archive Ancient Atomism 3 Plato and Platonists 页面存档备份 存于互联网档案馆 史丹佛哲學百科 WHY DOES PLATO S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS PDF 2016 05 23 原始内容存档 PDF 于2021 04 02 幾何原本 原文第一冊 定義一 页面存档备份 存于互联网档案馆 柏修斯數位圖書館 Euclid s Elements of Geometry From the Latin Translation of Commandine by John Keill Metaphysics Book V 页面存档备份 存于互联网档案馆 The Internet Classics Archive Euclid Elements 页面存档备份 存于互联网档案馆 阿拉伯文版 Wiktionary نقطة 2016 05 23 原始内容存档于2021 04 02 Euclid s Elements in the middle ages Boethius tradition 2016 05 23 原始内容存档于2021 04 02 取自 https zh wikipedia org w index php title 点 amp oldid 78847461, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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