这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》(Gentleman's Diary)39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳(他发明了多项式方程近似根的霍纳法)给出了第一个证明,完全是初等的;另一个证明由理查德·泰勒(Richard Taylor)给出。一种早期的证明由M.布兰德(Miles Bland)在《几何问题》(1827年)一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法,由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"(中译:近世几何学初编,李俨译,上海商务印书馆 1956 )给出,只有一句话,用的是线束的交比。1981年,Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法(利用直线束,二次曲线束)。
蝴蝶定理, butterfly, theorem, 是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一, 最先是作为一个征求证明的问题, 这个命题最早出现在1815年, 这个名称最早出现在, 美国数学月刊, 1944年2月号, 题目的几何图形象一只蝴蝶, 便以此命名, 这个定理的证法多得不胜枚举, 至今仍然被数学热爱者研究, 在考试中时有出现各种变形, 最基本的叙述为, 设m为圆内弦pq的中点, 过m作弦ab和cd, 设ad和bc各相交pq于点x和y, 则m是xy的中点, 这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一. 蝴蝶定理 Butterfly theorem 是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题 这个命题最早出现在1815年 而 蝴蝶定理 这个名称最早出现在 美国数学月刊 1944年2月号 题目的几何图形象一只蝴蝶 便以此命名 这个定理的证法多得不胜枚举 至今仍然被数学热爱者研究 在考试中时有出现各种变形 最基本的叙述为 设M为圆内弦PQ的中点 过M作弦AB和CD 设AD和BC各相交PQ于点X和Y 则M是XY的中点 这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志 男士日记 Gentleman s Diary 39 40页上 登出的当年 英国一个自学成才的中学数学教师W G 霍纳 他发明了多项式方程近似根的霍纳法 给出了第一个证明 完全是初等的 另一个证明由理查德 泰勒 Richard Taylor 给出 一种早期的证明由M 布兰德 Miles Bland 在 几何问题 1827年 一书中给出 最为简洁的证法是射影几何的证法 由英国的J 开世在 A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid 中译 近世几何学初编 李俨译 上海商务印书馆 1956 给出 只有一句话 用的是线束的交比 1981年 Crux杂志刊登了K 萨蒂亚纳拉亚纳 Kesirajn Satyanarayana 用解析几何的一种比较简单的方法 利用直线束 二次曲线束 该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况 有多种推广 M 作为圆内弦是不必要的 可以移到圆外 圆可以改为任意圆锥曲线 将圆变为一个完全四角形 M为对角线交点 去掉中点的条件 结论变为一个一般关于有向线段的比例式 称为 坎迪定理 M displaystyle M 不为中点时满足 1 M Y 1 M X 1 M Q 1 M P displaystyle 1 over MY 1 over MX 1 over MQ 1 over MP 这对2 3均成立 证明 编辑从X displaystyle X nbsp 向A M displaystyle AM nbsp 和D M displaystyle DM nbsp 作垂线 设垂足分别为X displaystyle X nbsp 和X displaystyle X nbsp 类似地 从Y displaystyle Y nbsp 向B M displaystyle BM nbsp 和C M displaystyle CM nbsp 作垂线 设垂足分别为Y displaystyle Y nbsp 和Y displaystyle Y nbsp nbsp 证明蝴蝶定理现在 由于 M X X M Y Y displaystyle triangle MXX sim triangle MYY nbsp dd M X M Y X X Y Y displaystyle MX over MY XX over YY nbsp M X X M Y Y displaystyle triangle MXX sim triangle MYY nbsp dd M X M Y X X Y Y displaystyle MX over MY XX over YY nbsp A X X C Y Y displaystyle triangle AXX sim triangle CYY nbsp dd X X Y Y A X C Y displaystyle XX over YY AX over CY nbsp D X X B Y Y displaystyle triangle DXX sim triangle BYY nbsp dd X X Y Y D X B Y displaystyle XX over YY DX over BY nbsp 从这些等式 可以很容易看出 M X M Y 2 X X Y Y X X Y Y displaystyle left MX over MY right 2 XX over YY XX over YY nbsp A X D X C Y B Y displaystyle AX DX over CY BY nbsp P X Q X P Y Q Y displaystyle PX QX over PY QY nbsp P M X M M Q X M P M M Y Q M M Y displaystyle PM XM MQ XM over PM MY QM MY nbsp 由于P M displaystyle PM nbsp M Q displaystyle MQ nbsp 现在 M X 2 M Y 2 P M 2 M X 2 P M 2 M Y 2 displaystyle MX 2 over MY 2 PM 2 MX 2 over PM 2 MY 2 nbsp 因此 我们得出结论 M X M Y displaystyle MX MY nbsp 也就是说 M displaystyle M nbsp 是X Y displaystyle XY nbsp 的中点 证毕 取自 https zh wikipedia org w index php title 蝴蝶定理 amp oldid 71215159, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,