正交补

在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（英語：orthogonal complement） ${\displaystyle W^{\bot }}$ 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,}$

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说

${\displaystyle W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,}$

如果 A 是 ${\displaystyle m\times n}$ 矩阵，而 ${\displaystyle {\mbox{Row }}A}$, ${\displaystyle {\mbox{Col }}A}$ 和 ${\displaystyle {\mbox{Nul }}A}$ 分别指称列空间、行空间和零空间，则有

${\displaystyle (\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A}$

和

${\displaystyle (\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}}$

巴拿赫空间

在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,}$ 

它总是 ${\displaystyle V^{*}}$  的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。${\displaystyle W^{\bot \,\bot }}$  现在是 ${\displaystyle {V^{*}}^{*}}$  的子空间(它同一于 ${\displaystyle V}$ )。但是自反空间有在 ${\displaystyle V}$  和 ${\displaystyle {{V^{*}}^{*}}}$  之间的自然同构 ${\displaystyle i}$ 。在这种情况下我们有

${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.}$ 

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。