自反空间, 是泛函分析中的概念, 如果一个巴拿赫空间, 或更一般地, 一个局部凸拓扑向量空间, 的连续对偶空间的连续对偶空间, 其自身, 就称这个空间为, 其中的, 表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的, 自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画, 目录, 详细定义, 例子, 性质, 巴拿赫空间, 参见, 参考来源详细定义, 编辑设x, displaystyle, 为标量域f, displaystyle, mathbb, displaystyle, mathbb, mathbb, 或c, . 自反空间是泛函分析中的概念 如果一个巴拿赫空间 或更一般地 一个局部凸拓扑向量空间 的连续对偶空间的连续对偶空间 是 其自身 就称这个空间为自反空间 其中的 是 表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的 自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画 目录 1 详细定义 2 例子 3 性质 3 1 巴拿赫空间 4 参见 5 参考来源详细定义 编辑设X displaystyle X 为标量域F displaystyle mathbb F F R displaystyle mathbb F mathbb R 或C displaystyle mathbb C 上的赋范向量空间 其中的范数记作 displaystyle cdot 考虑它的对偶赋范空间X displaystyle X 依定义 X displaystyle X 是由所有从X displaystyle X 射到标量域F displaystyle mathbb F 上的连续线性泛函f X F displaystyle f X to mathbb F 构成的空间 也称为连续对偶空间 装备了对偶范数 displaystyle cdot f sup f x x X x 1 displaystyle f sup f x x in X x leq 1 对偶空间X displaystyle X 因此也是赋范空间 可以证明是巴拿赫空间 而它的对偶赋范空间X X displaystyle X X 则称为元空间X displaystyle X 的二次对偶空间 或称双对偶空间 二次对偶空间由所有从X displaystyle X 射到标量域F displaystyle mathbb F 上的连续线性泛函h X F displaystyle h X to mathbb F 构成的赋范空间 其中的范数 displaystyle cdot 是 displaystyle cdot 的对偶范数 空间X displaystyle X 中的任意向量x X displaystyle x in X 都可以诱导一个标量函数J x X F displaystyle J x X to mathbb F 由以下的方法定义 J x f f x f X displaystyle J x f f x qquad f in X 这个J x displaystyle J x 是一个从X displaystyle X 射到标量域F displaystyle mathbb F 上的连续线性泛函 所以J x X displaystyle J x in X 因而可以定义一个映射 J X X displaystyle J X to X 这个映射称作 赋值映射 是一个线性映射 根据哈恩 巴拿赫定理 映射J displaystyle J 是单射 并且保持范数 x X J x x displaystyle forall x in X qquad J x x 这说明 映射J displaystyle J 将空间X displaystyle X 等距地映射到其在X displaystyle X 中的像 J X displaystyle J X 上 而映射的像J X displaystyle J X 不一定是X displaystyle X 的全部 有可能只是X displaystyle X 的一个拓撲子空間 而空间X displaystyle X 被称为自反空间 如果它满足以下几个等价条件中的一个 赋值映射J X X displaystyle J X to X 是满射 赋值映射J X X displaystyle J X to X 是赋范空间之间的等距同构 赋值映射J X X displaystyle J X to X 是赋范空间之间的同构 1 15 2 129 自反空间必然是巴拿赫空间 因为它和自身的二次对偶空间同构 而后者必然是巴拿赫空间 3 49 自反空间通过赋值映射与其二次对偶空间等距同构 然而也存在这样的巴拿赫空间X displaystyle X 它与自身的二次对偶空间通过另外的方式等距同构 在另外的范数下 但如果考察赋值映射J displaystyle J 则它只将元空间X displaystyle X 和它的二次对偶空间的一个子空间进行等距同构 这样的空间称为准自反空间 4 1 15 2 130 如果赋值映射J displaystyle J 将X displaystyle X 同构到它的二次对偶空间的某个子空间 而这个子空间的余维数为d 则称元空间X displaystyle X 为d 阶准自反空间 例子 编辑每个有限维赋范向量空间都是自反空间 这是因为有限维赋范向量空间的对偶空间的维数等于元空间 因此二次对偶空间的维数也等于元空间 因此 如果考虑赋值映射J displaystyle J 根据秩 零化度定理 J displaystyle J 是同构 考虑由所有极限为零的实数列 a n n N displaystyle left a n right n in mathbb N 构成的向量空间c 0 displaystyle c 0 并考虑其上的范数 a a n n N c 0 a sup n N a n displaystyle forall a left a n right n in mathbb N in c 0 a sup n in mathbb N a n 赋范向量空间c 0 displaystyle c 0 不是自反空间 3 49 2 130 由以下提到的基本性质可以推出 序列空间ℓ 1 displaystyle ell 1 和ℓ displaystyle ell infty 也不是自反空间 因为ℓ 1 displaystyle ell 1 是c 0 displaystyle c 0 的对偶空间 ℓ displaystyle ell infty 是ℓ 1 displaystyle ell 1 的对偶空间 所有的希尔伯特空间都是自反空间 比如说 L 2 displaystyle L 2 空间是自反空间 3 49 2 130 另外 当1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty 时 L p displaystyle L p 空间都是自反空间 根据更一般的结论 米尔曼 佩提斯定理 英语 Milman Pettis theorem 所有一致凸的巴拿赫空间都是自反空间 L 1 m displaystyle L 1 mu 空间和L m displaystyle L infty mu 空间在维数是无穷维的时候都不是自反空间 与此类似的 由区间 0 1 上的连续函数构成的巴拿赫空间C 0 0 1 displaystyle mathcal C 0 0 1 也不是自反空间 3 50 51性质 编辑巴拿赫空间 编辑 注意 本节中的 对偶空间 指的是拓扑意义上的 连续对偶空间 如果一个巴拿赫空间Y 和某个自反巴拿赫空间X 同构 那么Y 也是自反空间 5 242 自反巴拿赫空间的任意闭合子空间都是自反空间 3 49 自反巴拿赫空间空间对自身的任一个闭合子空间的商空间也是自反空间 5 242 如果一个巴拿赫空间E 的某个闭合子空间F 以及E 对F 的商空间E F 都是自反空间 那么E 自身也是巴拿赫空间 5 242 设X 是巴拿赫空间 那么以下的命题相互等价 X 是自反空间 X 的对偶空间是自反空间 3 49 50 2 130 X 中的闭单位球在弱拓扑中紧致 角谷静夫定理 3 49 2 130 X 中的有界序列都有弱收敛的子列 5 244 X 中的任何连续线性泛函都在X 中的闭单位球上达到最大值 James定理 3 49 50 参见 编辑参考来源 编辑 1 0 1 1 N L Carothers A Short Course on Banach Space Theory Cambridge University Press 2005 ISBN 9780521603720 英语 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 Marian Fabian Banach Space Theory The Basis for Linear and Nonlinear Analysis Springer 2011 ISBN 9781441975157 英语 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 Bernard Beauzamy Introduction to Banach spaces and their geometry Elsevier 2011 ISBN 9780080871790 英语 R C James A non reflexive Banach space isometric with its second conjugate space Proc Natl Acad Sci U S A 1951 37 174 177 英语 5 0 5 1 5 2 5 3 Corneliu Constantinescu Banach Spaces Elsevier 2001 ISBN 9780080528373 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 自反空间 amp oldid 68458585, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,