子群, 假設, displaystyle, 是一個, group, displaystyle, displaystyle, 的一個非空子集, subset, 且同時, displaystyle, 與相同的二元運算, displaystyle, 亦構成一個群, displaystyle, 稱為, displaystyle, 的一個, subgroup, 參閱群論, 群论群基本概念, 正规, 商群, 群同态, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循环群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限单群分. 假設 G displaystyle G 是一個 群 group 若 H displaystyle H 是 G displaystyle G 的一個非空子集 subset 且同時 H displaystyle H 與相同的二元運算 displaystyle 亦構成一個群 則 H displaystyle H 稱為 G displaystyle G 的一個 子群 subgroup 參閱群論 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编更精確地來說 若運算 displaystyle 在 H displaystyle H 的限制也是個在 H displaystyle H 上的群運算 则称 H displaystyle H 為 G displaystyle G 的子群 一個群 G displaystyle G 的 純子群 是指一個子群 H displaystyle H 其為 G displaystyle G 的純子集 即 H displaystyle H G displaystyle G 任一個群總會有兩個子群 當然群 為只包含單位元素的子群 e 以及 群本身 若 H displaystyle H 為 G displaystyle G 的子群 則 G displaystyle G 有時會被稱為 H displaystyle H 的 母群 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內 當 G 為一任意的半群 但此一條目中只處理群的子群而已 群G 有時會被標記成有序對 G 通常用以強調其運算 displaystyle 當 G 帶有多重的代數或其他結構 在下面的文章中 會使用省略掉 displaystyle 的常規 並將乘積a b寫成 ab 目录 1 子群的檢驗 2 子群的基本性質 3 例子 3 1 1 有限群 3 2 2 二面體群 3 3 3 群的中心 中心化子 正規化子 4 陪集和拉格朗日定理 5 另見子群的檢驗 编辑給定一個群 G displaystyle G H displaystyle H 為G displaystyle G 的子集 則有H displaystyle H 為G displaystyle G 的子群若且唯若 h h H h h 1 H displaystyle forall h h in H h h 1 in H 若H displaystyle H 為G displaystyle G 的子群可表示為H G displaystyle H leq G 則以上表述可表示為 H G h h H h h 1 H displaystyle H leq G Longleftrightarrow forall h h in H h h 1 in H 證明 displaystyle Longrightarrow 因為H G displaystyle H leq G 對於任意h H displaystyle h in H h 1 H displaystyle exists h 1 in H 另有h H displaystyle h in H 由於H displaystyle H 為一個群 所以h h 1 H displaystyle h h 1 in H displaystyle Longleftarrow 假設 x H displaystyle exists x in H 令h h x displaystyle h h x 可得h h 1 x x 1 e G H displaystyle h h 1 x x 1 e G in H 即H displaystyle H 存在單位元 對於x H displaystyle x in H 令h e G displaystyle h e G h x displaystyle h x 可得h h 1 e G x 1 x 1 H displaystyle h h 1 e G x 1 x 1 in H 即對於任意x H displaystyle x in H 存在x 1 H displaystyle x 1 in H 對於x y H displaystyle x y in H 令h x displaystyle h x h y 1 displaystyle h y 1 可得h h 1 x y 1 1 x y H displaystyle h h 1 x y 1 1 x y in H 即對於任意x y H displaystyle x y in H x y H displaystyle x y in H 因此H G h h H h h 1 H displaystyle H leq G Longleftrightarrow forall h h in H h h 1 in H 成立 子群的基本性質 编辑H G displaystyle H leq G displaystyle Longleftrightarrow H G displaystyle H subseteq G 且存在一個映射ϕ H G displaystyle phi H to G 且對每個 a H displaystyle a in H 有ϕ a a displaystyle phi a a H G displaystyle H leq G displaystyle Longleftrightarrow e H e G displaystyle e H e G 其中e H e G displaystyle e H e G 為H G displaystyle H G 的單位元素 若H G displaystyle H leq G 則a b displaystyle a b 為會使得a b b a e H displaystyle ab ba e H 之 H displaystyle H 中的元素 有a b b a e G displaystyle ab ba e G 若H 1 G H 2 G H 1 H 2 G displaystyle H 1 leq G H 2 leq G Rightarrow H 1 cap H 2 leq G 但H 1 H 2 displaystyle H 1 cup H 2 則不一定 例如2和3是在2 Z displaystyle 2 mathbb Z 與3 Z displaystyle 3 mathbb Z 的聯集中 但其總和5則不是 若S是G的子集 則存在一個包括S的最小子群 其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出 此一最小子群被標記為 lt S gt 且稱為由S產生的子群 G內的一個元素在 lt S gt 內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群 lt a gt 若 lt a gt 同構於某一正整數n之Z nZ 則n會是最小個會使得an e的正整數 且n被稱為是a的 階 若 lt a gt 同構於Z 則a會被稱有 無限階 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格 稱之為子群格 其最大下界為一般的集合論交集 而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集 所產生 的子群 若e為G的單位元素 則其當然群 e 會是群G的最小子群 而其最大子群則會是群G本身 例子 编辑1 有限群 编辑 G 0 1 2 3 4 5 6 7 displaystyle G 0 1 2 3 4 5 6 7 和以8為模的加法為二元運算的群 此群亦同時是阿貝爾群 其凱萊表為 0 4 2 6 1 3 5 70 0 4 2 6 1 3 5 74 4 0 6 2 5 7 1 32 2 6 4 0 3 5 7 16 6 2 0 4 7 1 3 51 1 5 3 7 2 4 6 03 3 7 5 1 4 6 0 25 5 1 7 3 6 0 2 47 7 3 1 5 0 2 4 6此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群 J 0 4 displaystyle J 0 4 和 H 0 2 4 6 displaystyle H 0 2 4 6 其中 J displaystyle J 亦是 H displaystyle H 的子群 H displaystyle H 的凱萊表是 G displaystyle G 的凱萊表之左上半部 G displaystyle G 群是循環的 而其子群亦為 一般而言 循環群的子群亦為循環的 2 二面體群 编辑 如果G D n displaystyle G D n 則 R e r r 2 r n 1 displaystyle R e r r 2 r n 1 是一個子群 3 群的中心 中心化子 正規化子 编辑 我們設Z G displaystyle Z G 一個群G的子集 包含了所有與群G中其他元素可交換的元素 也就是說Z G x G x g g x g G displaystyle Z G x in G xg gx forall g in G 此集合為群G的子群 我們稱此子群為群的中心 記作Z G displaystyle Z G 設A為G的任意子集 則A在G中的中心化子為集合C G A displaystyle C G A 此集合的定義為 C G A g G g a g 1 a a A displaystyle C G A g in G gag 1 a forall a in A 此集合也是群G的子群 至於A在G中的正規化子則為集合N G A displaystyle N G A 此集合定義為 N G A g G g A g 1 A displaystyle N G A g in G gAg 1 subseteq A 此集合也是群G的子群 陪集和拉格朗日定理 编辑給定一子群H和G內的某一元素a 則可定義出一個左陪集 aH ah h H 因為a為可逆的 由f h ah給出之映射f H aH為一個雙射 更甚地 每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中 其左陪集為對應於一等價關係的等價類 其等價關係a1 a2若且唯若a1 1a2會在H內 H的左陪集之數目稱之為H在G內的 指數 並標記為 G H 拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言 G H o G o H displaystyle G H o G over o H 其中o G 和o H 分別為G和H的階 特別地是 每一個G的子群的階 和每一個G內元素的階 都必須為o G 的因數 右陪集為相類比之定義 Ha ha h H 其亦有對應於一適當之等價關係的等價類 且其個數亦會相等於 G H 若對於每個在G內的a aH Ha 則H稱之為正規子群 每一個指數2的子群皆為正規的 左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集 另見 编辑嘉當子群 費汀子群 穩定子群 取自 https zh wikipedia org w index php title 子群 amp oldid 74828709, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,