二面體群

在數學中，二面體群 ${\displaystyle D_{2n}}$ 是正 ${\displaystyle n}$ 邊形的對稱群，具有 ${\displaystyle 2n}$ 個元素。某些書上則記為 ${\displaystyle D_{n}}$。除了 ${\displaystyle n=2}$ 的情形外，${\displaystyle D_{2n}}$ 都是非交換群。

雪花有正六邊形的二面體對稱。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

生成元與關係

抽象言之，首先考慮 ${\displaystyle n}$  階循環群 ${\displaystyle C_{n}}$ 。反射 ${\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}}$  是 ${\displaystyle C_{n}}$  上的自同構，而且 ${\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}}$ 。定義二面體群為半直積

${\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}$ 

任取 ${\displaystyle C_{n}}$  的生成元 ${\displaystyle \sigma }$ ，${\displaystyle D_{2n}}$  由 ${\displaystyle \sigma ,\tau }$  生成，其間的關係是

${\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}$ 

${\displaystyle D_{2n}}$  的元素均可唯一地表成 ${\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}}$ ，其中 ${\displaystyle 0\leq k<n}$ ，${\displaystyle h=0,1\,}$ 。

幾何詮釋

 

n=5 的情形：反射對稱

 

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 ${\displaystyle O(2)}$  中由

${\displaystyle \sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}}$  （旋轉 ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$  弧度）

${\displaystyle \tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$  （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 ${\displaystyle D_{2n}}$  是正 n 邊形的對稱群。

性質

• ${\displaystyle D_{2n}}$  的中心在 ${\displaystyle n}$  為奇數時是 ${\displaystyle \{e\}}$ ，在 ${\displaystyle n}$  為偶數時是 ${\displaystyle \{e,\sigma ^{n/2}\}}$ 。
• 當 ${\displaystyle n}$  為奇數時，${\displaystyle D_{4n}}$  同構於 ${\displaystyle D_{2n}}$  與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

${\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}$ 

其中 ${\displaystyle h,\epsilon =0,1}$ ，${\displaystyle 0\leq k<n}$ 。

• 當 ${\displaystyle n}$  為奇數時，${\displaystyle D_{2n}}$  的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 ${\displaystyle n}$  為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 ${\displaystyle n}$  邊形的頂點。
• 若 ${\displaystyle m|n}$ ，則 ${\displaystyle D_{2m}\leq D_{2n}}$ ，由此可導出 ${\displaystyle D_{2n}}$  共有 ${\displaystyle d(n)+\sigma (n)}$  個子群，其中的算術函數 ${\displaystyle d(n)}$  與 ${\displaystyle \sigma (n)}$  分別代表 ${\displaystyle n}$  的正因數個數與正因數之和。

表示

當 ${\displaystyle n}$  為奇數時，${\displaystyle D_{n}}$  有兩個一維不可約表示：

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}$ 

當 ${\displaystyle n}$  為偶數時，${\displaystyle D_{n}}$  有四個一維不可約表示：

 

${\displaystyle e}$ 

${\displaystyle \sigma }$ 

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 

${\displaystyle \sigma ^{3}}$ 

${\displaystyle \sigma ^{4}}$ 

${\displaystyle \sigma ^{5}}$ 

${\displaystyle \sigma ^{6}}$ 

${\displaystyle \sigma ^{7}}$ 

${\displaystyle \tau }$ 

${\displaystyle \sigma \tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{2}\tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{3}\tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{4}\tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{5}\tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{6}\tau }$ 

${\displaystyle \sigma ^{7}\tau }$ 

 

正八邊形的停車標誌在${\displaystyle D_{8}}$ 的群作用下的結果

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}$ 

其餘不可約表示皆為二維，共有 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$  個，形如下式：

${\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ 

其中 ${\displaystyle \omega }$  是任一 n 次本原單位根，${\displaystyle h}$  過 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 。由 ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$  給出的表示相等價若且唯若 ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n}$ 。

文獻