任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為2的4維向量空間(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定義稍不同。特征2域,垂直于一個向量u的反射將v映為v+B(v,u)/Q(u)·u,這里B是一個雙線性形式,Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是將v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u,當奇特征和零特征時與比較兩者不同。
正交群, 数学上, 数域f上的n阶, 记作o, 是f上的n, 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群, 它是一般线性群gl, 的子群, 由群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同態, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循環群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限單群分類, 循環群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特殊线性群, 特殊, 酉群. 数学上 数域F上的n阶正交群 记作O n F 是F上的n n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群 它是一般线性群GL n F 的子群 由群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同態 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循環群 冪零群 可解群 圈積离散群有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 O n F Q G L n F Q T Q Q Q T I displaystyle mathrm O n F Q in mathrm GL n F mid Q T Q QQ T I 给出 这里QT是Q的转置 实数域上的经典正交群通常就记为O n 更一般地 F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群 嘉当 迪奥多内定理描述了这个正交群的结构 每个正交矩阵的行列式为1或 1 行列式为1的n n正交矩阵组成一个O n F 的正规子群 称为特殊正交群SO n F 如果F的特徵为2 那么1 1 从而O n F 和SO n F 相等 其他情形SO n F 在O n F 中的指数是2 特征2且偶数维时 很多作者用另一种定义 定义SO n F 为迪克森不变量的核 这样它在O n F 中总有指数2 O n F 和SO n F 都是代数群 因为如果一个矩阵是正交的条件 即转置等于逆矩阵 能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程 目录 1 实数域上的正交群 1 1 保持原点的3维同构 1 2 共形群 2 複数域上正交群 3 拓扑 3 1 低维数 3 2 同伦群 3 2 1 和KO 理论的关系 3 2 2 同伦群的计算和解释 3 2 2 1 低维群 3 2 2 2 李群 3 2 2 3 向量丛 3 2 2 4 环路空间 3 2 3 同伦群的解释 4 有限群上的正交群 5 迪克森不变量 6 特征2域上正交群 7 旋量模 8 伽罗瓦上同调和正交群 9 重要子群 10 另见 11 注释 12 参考文献 13 外部链接实数域上的正交群 编辑实数域R上的正交群O n R 和特殊正交群SO n R 在不会引起误会时经常记为O n 和SO n 他们是n n 1 2 维实紧李群 O n R 有两个连通分支 SO n R 是单位分支 即包含单位矩阵的连通分支 实正交群和特殊正交群有如下的解释 O n R 是欧几里得群E n 的子群 E n 是Rn的等距群 O n R 由其中保持原点不动等距组成 它是以原点为中心的球面 n 3 超球面和所有球面对称的对象的對稱群 SO n R 是E n 的子群 E n 是 直接 等距 即保持定向的等距 SO n R 由其中保持原点不动的等距组成 它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群 I I 是O n R 的正规子群并是特征子群 如果n是偶数 对SO n R 也对 如果n是奇数 O n R 是SO n R 和 I I 的直积 k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O 2 R 和SO 2 R 的正规子群 取合适的正交基 等距是 R 1 R k 0 0 1 1 displaystyle begin bmatrix begin matrix R 1 amp amp amp ddots amp amp amp R k end matrix amp 0 0 amp begin matrix pm 1 amp amp amp ddots amp amp amp pm 1 end matrix end bmatrix 的形式 这里矩阵R1 Rk是2 2旋转矩阵 圆的對稱群是O 2 R 也称为Dih S1 这里S1是模长1複数的乘法群 SO 2 R 作为李群 同构于圆S1 圆群 这个同构将複数exp fi cos f i sin f 映到正交矩阵 cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ displaystyle begin bmatrix cos phi amp sin phi sin phi amp cos phi end bmatrix 群SO 3 R 视为3维空间的旋转 是科学和工程中最重要的群 参见旋转群和3 3旋转矩阵利用轴和角的一般公式在代数拓扑方面 对n gt 2 SO n R 的基本群是2阶循环 而自旋群Spin n 是其万有覆叠 对n 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴 旋量群Spin 2 是惟一的2重覆叠 李群O n R 和SO n R的李代数由斜对称实n n矩阵组成 李括号由交换子给出 这个李代数经常记为 o n R 或so n R 保持原点的3维同构 编辑 保持R3原点不动的同构 组成群O 3 R 能分成如下几类 SO 3 R 恒同 绕一个过原点的轴转动不等于180 绕一个过原点的轴转动180 以上与关于原点的点反演 x映到 x 复合 分别为 关于原点的点反演 绕一轴旋转一个不等于180 的角度 与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合 关于一个过原点的平面的反射特别地指出4阶和5阶正交群 在更宽泛的意义下6阶也是 称为反射旋转 类似的参见欧几里得群 共形群 编辑 主条目 共形群 作为保持距离的同构 正交变换也保角 从而是共形变换 但是不是所有的共形变换都是正交变换 Rn的线性共形映射构成的群记作CO n 由正交群和收缩的乘积给出 如果n是奇数 两个子群不相交 他们是直积 CO 2 n 1 O 2 n 1 R displaystyle operatorname CO 2n 1 operatorname O 2n 1 times mathbf R 如果n是偶数 两个子群的交是 1 displaystyle pm 1 所以这不是直积 但这是和正收缩子群的直积 CO 2 n O 2 n R displaystyle operatorname CO 2n operatorname O 2n times mathbf R 我们可以类似地定义CSO n 这时总有CSO n CO n GL n SO n R displaystyle operatorname CSO n operatorname CO n cap operatorname GL n operatorname SO n times mathbf R 複数域上正交群 编辑複数域C上 O n C 和SO n C 是C上n n 1 2维的李群 这意味着实维数是n n 1 O n C 有两个连通分支 SO n C 是包含恒同矩阵的分支 当n 2时 这些群非紧 和实情形一样 SO n C 不是单连通的 对n gt 2 SO n C 的基本群是2阶循环群 而SO 2 C 的基本群是无穷循环群 O n C 和SO n C 的複李代数由斜对称複n n矩阵组成 李括号由交换子给出 拓扑 编辑低维数 编辑 低维实正交群是熟悉的空间 O 1 1 S 0 S O 1 1 S O 2 S 1 S O 3 R P 3 displaystyle begin aligned O 1 amp left pm 1 right S 0 SO 1 amp left 1 right SO 2 amp S 1 SO 3 amp mathbf RP 3 end aligned 由于三维旋转在工程中有重要应用 产生了很多SO 3 上的卡 同伦群 编辑 正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关 从而一般是很难计算的 但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群 也称为有限正交群 定义为包含序列 O 0 O 1 O 2 O k 0 O k displaystyle O 0 subset O 1 subset O 2 subset cdots subset O bigcup k 0 infty O k 的正向极限 因为包含都是闭包含 从而是上纤维化 也能理解成并 S n displaystyle S n 是O n 1 displaystyle O n 1 的齐性空间 从而有如下纤维丛 O n O n 1 S n displaystyle O n to O n 1 to S n 可以理解为 正交群O n 1 displaystyle O n 1 传递地作用于单位球面S n displaystyle S n 上 一点 看作一个单位向量 的稳定子群是其正交补的正交群 这是第一维的正交群 映射O n O n 1 displaystyle O n to O n 1 是自然包含 从而包含O n O n 1 displaystyle O n to O n 1 是 n 1 连通的 故同伦群稳定 对n gt k 1 displaystyle n gt k 1 有p k O p k O n displaystyle pi k O pi k O n 所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群 通过博特周期性定理 W 8 O O displaystyle Omega 8 O simeq O 从而O的同伦群以8为周期 即 p k 8 O p k O displaystyle pi k 8 O pi k O 这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群 p 0 O Z 2 p 1 O Z 2 p 2 O 0 p 3 O Z p 4 O 0 p 5 O 0 p 6 O 0 p 7 O Z displaystyle begin aligned pi 0 O amp mathbf Z 2 pi 1 O amp mathbf Z 2 pi 2 O amp 0 pi 3 O amp mathbf Z pi 4 O amp 0 pi 5 O amp 0 pi 6 O amp 0 pi 7 O amp mathbf Z end aligned 和KO 理论的关系 编辑 通过cluching construction 稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价 同构的意义下 提高一个维数 p k O p k 1 B O displaystyle pi k O pi k 1 BO 设K O B O Z W 1 O Z displaystyle KO BO times mathbf Z Omega 1 O times mathbf Z 使得p 0 displaystyle pi 0 满足周期性 我们得到 p 0 K O Z p 1 K O Z 2 p 2 K O Z 2 p 3 K O 0 p 4 K O Z p 5 K O 0 p 6 K O 0 p 7 K O 0 displaystyle begin aligned pi 0 KO amp mathbf Z pi 1 KO amp mathbf Z 2 pi 2 KO amp mathbf Z 2 pi 3 KO amp 0 pi 4 KO amp mathbf Z pi 5 KO amp 0 pi 6 KO amp 0 pi 7 KO amp 0 end aligned 同伦群的计算和解释 编辑 低维群 编辑 最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述 p 0 O p 0 O 1 Z 2 displaystyle pi 0 O pi 0 O 1 mathbf Z 2 保持 反定向 这个类存留到O 2 displaystyle O 2 从而稳定 S O 3 R P 3 S 3 Z 2 displaystyle SO 3 mathbf RP 3 S 3 mathbf Z 2 得出 p 1 O p 1 S O 3 Z 2 displaystyle pi 1 O pi 1 SO 3 mathbf Z 2 即自旋群 p 2 O p 2 S O 3 0 displaystyle pi 2 O pi 2 SO 3 0 有到p 2 S O 4 displaystyle pi 2 SO 4 的满射 从而后一个群消失 李群 编辑 由李群一般性事实 p 2 G displaystyle pi 2 G 总消失 p 3 G displaystyle pi 3 G 是自由阿贝尔群 向量丛 编辑 从向量丛的观点来看 p 0 K O displaystyle pi 0 KO 是S 0 displaystyle S 0 上的向量丛 具有两个点 从而在每个点上 丛是平凡的 这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差 所以 p 0 K O Z displaystyle pi 0 KO mathbf Z 是维数 环路空间 编辑 利用博特周期性中环路空间具体的描述 我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦 利用p 0 displaystyle pi 0 O 以及O U有两个分支 K O B O Z displaystyle KO BO times mathbf Z 和K S p B S p Z displaystyle KSp BSp times mathbf Z 有Z displaystyle mathbf Z 个分支 其实是连通的 同伦群的解释 编辑 一小部分结论 1 p 0 K O Z displaystyle pi 0 KO mathbf Z 是维数 p 1 K O Z 2 displaystyle pi 1 KO mathbf Z 2 是定向 p 2 K O Z 2 displaystyle pi 2 KO mathbf Z 2 是自旋 p 4 K O Z displaystyle pi 4 KO mathbf Z 是拓扑量子场理论令F R C H O displaystyle F mathbf R mathbf C mathbf H mathbf O 以及L F displaystyle L F 为射影线F P 1 displaystyle mathbf FP 1 上的重複线丛 L F displaystyle L F 是其K 理论 注意到R P 1 S 1 C P 1 S 2 H P 1 S 4 O P 1 S 8 displaystyle mathbf RP 1 S 1 mathbf CP 1 S 2 mathbf HP 1 S 4 mathbf OP 1 S 8 这些得出相应球面上的向量丛 以及 p 1 K O displaystyle pi 1 KO 由 L R displaystyle L mathbf R 生成 p 2 K O displaystyle pi 2 KO 由 L C displaystyle L mathbf C 生成 p 4 K O displaystyle pi 4 KO 由 L H displaystyle L mathbf H 生成 p 8 K O displaystyle pi 8 KO 由 L O displaystyle L mathbf O 生成有限群上的正交群 编辑正交群也能定義在有限域F q displaystyle mathbf F q 上 這里q displaystyle q 是一個質數p displaystyle p 的冪 在這樣的域上定義正交群 偶數維時有兩類 O 2 n q displaystyle O 2n q 和O 2 n q displaystyle O 2n q 奇數維有一類 O 2 n 1 q displaystyle O 2n 1 q 如果V displaystyle V 是正交群G displaystyle G 作用的向量空間 它可以寫成正交直和 V L 1 L 2 L m W displaystyle V L 1 oplus L 2 oplus cdots oplus L m oplus W 這里L i displaystyle L i 是雙曲線而W displaystyle W 不包含奇異向量 如果W 0 displaystyle W 0 那么G displaystyle G 是正類型 若W lt w gt displaystyle W lt w gt 那么G displaystyle G 有偶維數 若W displaystyle W 有維數2 則G displaystyle G 是負類型 在n 1的特例 O ϵ 2 q displaystyle O epsilon 2 q 是階為2 q ϵ displaystyle 2 q epsilon 的二面體群 當特征大于2時 記O n q A GL n q A At I 關于這些群的階數我們有以下公式 O 2 n 1 q 2 q n i 0 n 1 q 2 n q 2 i displaystyle O 2n 1 q 2q n prod i 0 n 1 q 2n q 2i 如果 1 displaystyle 1 是F q displaystyle mathbf F q 中的平方元素 O 2 n q 2 q n 1 i 1 n 1 q 2 n q 2 i displaystyle O 2n q 2 q n 1 prod i 1 n 1 q 2n q 2i 如果 1 displaystyle 1 不是F q displaystyle mathbf F q 中的平方元素 O 2 n q 2 q n 1 n 1 i 1 n 1 q 2 n q 2 i displaystyle O 2n q 2 q n 1 n 1 prod i 1 n 1 q 2n q 2i 迪克森不变量 编辑对偶数维正交群 迪克森不变量是从正交群到Z 2Z的同态 是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合 在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价 行列式等于 1的迪克森不变量次幂 在特征2的域上 行列式总为1 所以迪克森不变量给出了额外的信息 在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素 而不是行列式为1 迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义 特征2域上正交群 编辑特征2域上的正交群常常有不同的表現 這一節列出一些不同 任何域上的任何正交群都是由反射生成 惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為2的4維向量空間 Grove 2002 Theorem 6 6 and 14 16 注意特征2域上的反射定義稍不同 特征2域 垂直于一個向量u的反射將v映為v B v u Q u u 這里B是一個雙線性形式 Q是和正交矩陣相連的二次形式 而通常的豪斯霍尔德变换是將v映到v 2 B v u Q u u 當奇特征和零特征時與比較兩者不同 特征2時正交群的中心總是1階 而不是2階 在特征2的奇維數2n 1時 完全域上的正交群和2n維辛群相同 事實上特征2時的辛形式時可交換的 而維數為奇數故總有一個1維的核 模去核的商是一個2n維辛空間 正交群作用在它上面 在特征2的偶維數 正交群是辛群的一個子群 因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的 旋量模 编辑旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素 F F 2的同態 将关于模长为n向量的反射映到F F 2中的n 旋量模对实数域上的正交群是平凡的 但是其它域上常常不平凡 譬如实数域上不定二次型定义的正交群 伽罗瓦上同调和正交群 编辑代数群的伽罗瓦上同调理论 引入了一些更深入的观点 它们有解释的价值 特别是二次型理论的联系 但就目前所发现的现象而言 大部分都是 马后炮 第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式 张量 可以与伽罗瓦H1等同起来 作为一个代数群 正交群一般不是连通或单连通的 第二个观点是引入自旋现象 但前一个和判别式相联系 一个旋量模的 spin 名字可以用与自旋群 更准确地pin群 的一个联系来解释 这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调 引入克利福德代数的术语 来解释 正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列 1 m 2 P i n V O V 1 displaystyle 1 rightarrow mu 2 rightarrow Pin V rightarrow O V rightarrow 1 这里m2是单位根的代数群 在一个特征非2的域上 粗略地看 和作用平凡的两元素群相同 从H0 就是取值于F中点的群OV F 到H1 m2 的连接同态本质上是spinor模 因为 H1 m2 同构于域模去平方元素的乘法群 正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态 因上同调是非阿贝尔的 所以 至少用普通定义 这是我们能走得最远的 重要子群 编辑物理中 特别是在Kaluza Klein紧化领域 找出正交群的子群非常重要 主要结论如下 O n O n 1 displaystyle O n supset O n 1 O 2 n S U n displaystyle O 2n supset SU n O 2 n U S p n displaystyle O 2n supset USp n O 7 G 2 displaystyle O 7 supset G 2 正交群O n 也是一些李群的重要子群 S U n O n displaystyle SU n supset O n U S p 2 n O n displaystyle USp 2n supset O n G 2 O 3 displaystyle G 2 supset O 3 F 4 O 9 displaystyle F 4 supset O 9 E 6 O 10 displaystyle E 6 supset O 10 E 7 O 12 displaystyle E 7 supset O 12 E 8 O 16 displaystyle E 8 supset O 16 群O 10 在超弦理论中非常重要 因为它是10维时空的对称群 另见 编辑旋转群 SO 3 R SO 8 广义正交群 酉群 辛群 有限单群列表 单李群列表注释 编辑 John Baez This Week s Finds in Mathematical Physics week 105 2008 10 18 原始内容存档于2021 02 11 参考文献 编辑Grove Larry C Classical groups and geometric algebra Graduate Studies in Mathematics 39 Providence R I American Mathematical Society 2002 ISBN 978 0 8218 2019 3 MR1859189 外部链接 编辑John Baez This Week s Finds in Mathematical Physics week 105 页面存档备份 存于互联网档案馆 John Baez on Octonions 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 正交群 amp oldid 76942957, 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