但是,Remak-Krull-Schmidt定理聲稱給定有限群 G = ∑Ai = ∑Bj,這里的每個 Ai 和每個 Bj 都是不平凡的并且不可分解的,則兩直和分別涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等價的。
Remak-Krull-Schmidt 定理對無限群無效,所以在無限 G = H + K = L + M 的情況下,即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的,我們不能假定 H 同構於要么 L 要么 M。
推廣到在無限集合上的和
如果我們希望在 G 是子群的無限(可能不可數)集合的直和的情況下描述上述性質,我們需要更加的小心。
如果 g 是群的集合的笛卡爾積 ∏{Hi} 的元素,設 gi 是在乘積中的 g 的第 i 個元素。 群的集合 {Hi} 的外直和(寫為 ∑E{Hi}) 是 ∏{Hi} 的子集,這里對於每個 ∑E{Hi} 的元素 g,gi 是單位元 對於除了有限個之外的所有 gi (等價的說只有有限個 gi 不是單位元)。在外直和中的群運算是逐點乘法,如在平常直積中那樣。
應當容易的明白這個子集確實形成了群;對于群 Hi 的無限集合,外直和同一於直積。
那么如果 G = ∑Hi,則 G 同構於 ∑E{Hi}。因此在某種意義上,直和是“內部”外直和。我們有了對於每個 G 中的元素 g,有一個唯一有限集合 S 和唯一的 {hi ∈ Hi : i ∈ S} 使得 g = ∏ {hi : i ∈ S}。
二月 13, 2023
群的直和, 在數學中, 叫做子群的集合, 的直和, 如果每個, 的正規子群, 每對不同的子群都有平凡的交集, 并且, 換句話說, 是子群, 生成的, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同态, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循环群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限单群分类, 循环群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特殊. 在數學中 群 G 叫做子群的集合 Hi 的直和 如果每個 Hi 是 G 的正規子群 每對不同的子群都有平凡的交集 并且 G lt Hi gt 換句話說 G 是子群 Hi 生成的 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编解說 编辑如果 G 是子群 H 和 K 的直和 則我們寫為 G H K 如果 G 是子群集合 Hi 的直和 我們經常寫為 G Hi 不嚴格的說 直和同構於子群的弱直積 在抽象代數中 這種構造方法可以推廣為向量空間 模和其他結構的直和 詳情參見條目直和 這個符號是符合交換律的 所以在兩個子群的直和的情況下 G H K K H 它還是符合結合律的 在如果 G H K 并且 K L M 則 G H L M H L M 的意義上 可以表達為非平凡子群的直和的群被叫做 可分解 的 否則叫做 不可分解 的 如果 G H K 則可以證明 對於所有 H 中的 h 和 K 中的 k 有 h k k h 對於所有 G 中的 g 存在唯一的 H 中的 h 和 K 中的 k 使得 g h k 有直和在商群中的消除 即 H K K 同構於 H 上述斷言可以推廣到 G Hi 的情況 這里的 Hi 是子群的有限集合 如果 i j 則對于所有 Hi 中的 hi 和 Hj 中的 hj 有著 hi hj hj hi 對於每個 G 中的 g 有唯一的 hi Hi 使得g h1 h2 hi hn 有直和在商群中的消除 即 Hi K K 同構於 Hi 注意類似於直積 這里的每個 g 可以唯一的表達為 g h1 h2 hi hn 因為 hi hj hj hi 對於所有 i j 可推出在直和中的元素的乘積同構於對應的在直積中的元素的乘積 因此對於子群的有限集合 Hi 同構於直積 Hi 直和的等價 编辑直和對於群不是唯一的 例如在克萊因四元群 V4 C2 C2 中 我們有 V4 lt 0 1 gt lt 1 0 gt 和 V4 lt 1 1 gt lt 1 0 gt 但是 Remak Krull Schmidt定理聲稱給定有限群 G Ai Bj 這里的每個 Ai 和每個 Bj 都是不平凡的并且不可分解的 則兩直和分別涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等價的 Remak Krull Schmidt 定理對無限群無效 所以在無限 G H K L M 的情況下 即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的 我們不能假定 H 同構於要么 L 要么 M 推廣到在無限集合上的和 编辑如果我們希望在 G 是子群的無限 可能不可數 集合的直和的情況下描述上述性質 我們需要更加的小心 如果 g 是群的集合的笛卡爾積 Hi 的元素 設 gi 是在乘積中的 g 的第 i 個元素 群的集合 Hi 的外直和 寫為 E Hi 是 Hi 的子集 這里對於每個 E Hi 的元素 g gi 是單位元 e H i displaystyle e H i 對於除了有限個之外的所有 gi 等價的說只有有限個 gi 不是單位元 在外直和中的群運算是逐點乘法 如在平常直積中那樣 應當容易的明白這個子集確實形成了群 對于群 Hi 的無限集合 外直和同一於直積 那么如果 G Hi 則 G 同構於 E Hi 因此在某種意義上 直和是 內部 外直和 我們有了對於每個 G 中的元素 g 有一個唯一有限集合 S 和唯一的 hi Hi i S 使得 g hi i S 取自 https zh wikipedia org w index php title 群的直和 amp oldid 35169086, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,