半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候，例如在阿兰·孔涅的工作中（细节请参见非交换几何）。
半直积, 在數學中, 特別是叫做群論的抽象代數領域中, 半直積, semidirect, product, 是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法, 半直積是直積的推廣, 半直積是作為集合的笛卡爾積, 但帶有特定的乘法運算, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同態, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循環群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限單群分類, 循環群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其. 在數學中 特別是叫做群論的抽象代數領域中 半直積 semidirect product 是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法 半直積是直積的推廣 半直積是作為集合的笛卡爾積 但帶有特定的乘法運算 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同態 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循環群 冪零群 可解群 圈積离散群有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 目录 1 内半直积 1 1 定义 1 2 基本事实 2 外半直积 2 1 定义 2 2 基本事实 3 例子 4 与直积的关系 5 推广 6 参看内半直积 编辑定义 编辑 令G为群 N为G的一个正规子群 并且H是G的一个子群 下列命题等价 G NH 且 N H e 其中e是G的幺元 G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积 自然的嵌入H G 和自然的投影G G N的复合 给出一个在H 和G N之间的同构 存在同态G H 它的像是H本身而其核是N如果这些命题中的一个 从而所有 成立 则称G是一个N和H的内半直积 或者说G在N上 分裂 splits 并写作G N H 基本事实 编辑 若G是正规子群N和子群H的内半直积 而且N和H都是有限的 则G的阶等于N和H的阶的积 和直积的情况不同 内半直积通常不是唯一的 如果G和G 是两个群 都包含N为正规子群 并且都包含H为子群 而且二者都是N和H的内半直积 则未必 G和G 是同构的 外半直积 编辑定义 编辑 给定任意两个群N和H 不必是某个群的子群 和一个群同态f H Aut N 其中Aut N 表示N的所有自同构组成的群 我们定义如下的一个新群N f H 称作N和H相对于f的外半直积 基础的集合是集合直积 N H 而群運算 给定为 n1 h1 n2 h2 n1 f h1 n2 h1 h2 对于所有N中的n1 n2 和H中的h1 h2 这确实定义了一个群 其幺元为 eN eH 而元素 n h 的逆为 f h 1 n 1 h 1 基本事实 编辑 N eH 是同构于N的正规子群 eN H是同构于H的子群 而N f H是这两个子群的内半直积 若G是一个N和H的内半直积 令映射f H Aut N 为如下同态 f h n hnh 1则G同构于外半直积N f H 该同构把乘积nh映到2元组 n h 在G中 我们有如下规则 n1h1 n2h2 n1 h1n2h1 1 h1h2 而这是上述外半直积的定义的深层原因 也是一个记住它的方便办法 群的分裂引理 splitting lemma 的一个版本称群G同构于两个群N和H的外半直积当且仅当存在短正合序列 0 N u G v H 0 displaystyle 0 longrightarrow N longrightarrow u G longrightarrow v H longrightarrow 0 nbsp 和一个群同态r H G 使得v o r idH H上的恒等映射 在这种情况 给出f H Aut N 如下 f h n u 1 r h u n r h 1 例子 编辑有 2n个元素的二面體群 Dn 同构于循环群Cn 和C2的半直积 这里 C2的非单位元作用于Cn 将元素变成其逆 这是一个自同构因为Cn是交换群 平面的刚体运动群 映射f R2 R2 使得x和y之间的欧氏距离等于f x 和f y 之间的距离对于所有在R2中的x和y成立 同构于交换群R2 描述平移 和正交 2 2矩阵的群O 2 描述转动和反射 的半直积 每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R2上 并且是一个自同构 所有正交n n矩阵的群O n 直观的讲 所有n维空间的所有转动和反射的集合 同构于群SO n 所有行列式值为1的正交矩阵 直观的讲n维空间的转动的集合 和C2的准直积 如果我们将C2表示为矩阵 I R 的乘法群 其中R是n维空间的翻转 也就是行列式为 1的正交对角矩阵 则f C2 Aut SO n 由f H N H N H 1对所有 在C2中的H 和SO n 中的N给出 与直积的关系 编辑假设G是一个正规子群N和子群H的内半直积 若H也在G中正规 或者说 若存在一个同态G N是N上的恒等映射 则G是N和H的直积 两个群N和H的直积可以视为N和H相对于f h idN 对于所有H中的h 的外半直积 注意在直积中 因子的次序不重要 因为N H同构于H N 这在半直积中不成立 因为两个因子的角色不同 推广 编辑半直积的构造可以推得更广 在环理论中有一个版本 环的交叉积 crossed product of rings 一旦构造了群的一个半直积的群环 这可以很自然的看出 还有李代数的半直和 给定拓扑空间上的一个群作用 存在一个相应的交叉积 它通常非交换 即使群是可交换的 这样的环在群作用的轨道空间有重要作用 特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候 例如在阿兰 孔涅的工作中 细节请参见非交换几何 在范畴论中也有推广 它们表明了如何从 指标范畴 indexed categories 构造 纤维范畴 fibred categories 这是外准直积的抽象形式 参看 编辑圈积 Wreath product 取自 https zh wikipedia org w index php title 半直积 amp oldid 79068430, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
