群同態, 在数学中, 给定两个群, displaystyle, displaystyle, cdot, displaystyle, displaystyle, cdot, 的群同态是函数h, displaystyle, cdot, 使得对于所有g, displaystyle, 中的u, displaystyle, 和v, displaystyle, 下述等式成立从g, displaystyle, 到h, displaystyle, 的群同态, displaystyle, 的像, 在h, displaystyle, . 在数学中 给定两个群 G displaystyle G 和 H displaystyle H cdot 从 G displaystyle G 到 H displaystyle H cdot 的群同态是函数h G H displaystyle h G to H cdot 使得对于所有G displaystyle G 中的u displaystyle u 和v displaystyle v 下述等式成立从G displaystyle G 左 到H displaystyle H 右 的群同态 h displaystyle h 的像 在H displaystyle H 内的椭圆形是h displaystyle h 的像 N displaystyle N 是h displaystyle h 的核而a N displaystyle aN 是h displaystyle h 的陪集 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 h u v h u h v displaystyle h u v h u cdot h v 在这里 等号左侧的群运算 displaystyle 是G displaystyle G 中的运算 而右侧的运算 displaystyle cdot 是H displaystyle H 中的运算 从这个性质 可推导出h displaystyle h 将G displaystyle G 的单位元e G displaystyle e G 映射到H displaystyle H 的單位元e H displaystyle e H 并且它还在h u 1 h u 1 displaystyle h u 1 h u 1 的意义上映射逆元到逆元 因此我们可以说h displaystyle h 兼容于群结构 过去同态h x displaystyle h x 常用x h displaystyle x h 或x h displaystyle x h 来表示 它容易混淆于索引或一般下标 更新近的倾向是把群同态写在它们的自变量的右侧 省略括号 如此h x displaystyle h x 簡化成了x h displaystyle x h 这种方法因为其更适应自动机从左至右读字的习惯从而在某些广泛应用自动机理论的群论中颇为流行 在考虑有额外的结构的群的数学领域中 同态不仅要满足上述的群结构 还要满足额外的结构 比如拓扑群的同态经常要求是连续的 目录 1 像与核 2 例子 3 群范畴 4 同态映射的类型 5 阿贝尔群的同态 6 参见 7 引用 8 外部連結像与核 编辑我们定义h displaystyle h 的核被映射到H displaystyle H 中单位元e h displaystyle e h 上的G displaystyle G 中元素的集合 k e r h u G h u e H displaystyle mathrm ker h u in G h u e H 定义h displaystyle h 的像为 i m h h u u G displaystyle mathrm im h h u u in G 核是G displaystyle G 的正规子群 事实上 h g 1 u g h g 1 h u h g h g 1 e H h g e H displaystyle h left g 1 ug right h g 1 h u h g h g 1 e H h g e H 而像则是H displaystyle H 的子群 同态h displaystyle h 是单射 并叫做单同态 当且仅当k e r h e G displaystyle mathrm ker h e G 同态的核和像可以被解释为对它接近于同构的程度 第一同构定理说明了群同态的像i m h displaystyle mathrm im h 同构于商群G k e r h displaystyle G mathrm ker h 例子 编辑考虑带有加法的循环群Z 3 Z 0 1 2 displaystyle mathbb Z 3 mathbb Z 0 1 2 和整数集Z displaystyle mathbb Z 的群 映射h Z Z 3 Z displaystyle h mathbb Z to mathbb Z 3 mathbb Z 有h u displaystyle h u 为u displaystyle u 模以3 是群同态 它是滿射并且它的核由被三整除的所有整数构成 指数映射产生从带有加法的实数集R displaystyle R 的群到带有乘法的非零实数集R displaystyle R 的群的群同態 核是 0 displaystyle 0 而像由正实数组成 指数映射还产生从带有加法的复数集C displaystyle C 的群到带有乘法的非零复数集C displaystyle C 的群的同态 这个映射是满射并且有核 2 p k i k Z displaystyle 2 pi ki k in mathbb Z 这可以从欧拉公式得出 给定任何两个群G displaystyle G 和H displaystyle H 映射h G H displaystyle h G to H 把所有G displaystyle G 的元素对应到H displaystyle H 的单位元 是同态 它的核是集合H displaystyle H 给定任何群G displaystyle G 恒等映射i d G G displaystyle mathrm id G to G 定义为对于G displaystyle G 中所有的u displaystyle u i d u u displaystyle mathrm id u u 恒等映射是群同态 群范畴 编辑如果h G H displaystyle h G to H 和k H K displaystyle k H to K 是群同态 则h k G K displaystyle h circ k G to K 也是群同态 这证明所有群构成的类 和态射即群同态 一起构成一个范畴 同态映射的类型 编辑如果同态h displaystyle h 是双射 则你还可以证明它的逆映射仍是同态 这种h displaystyle h 叫做群同构 在这种情况下 群G displaystyle G 和H displaystyle H 被称为是 同构的 它们只在元素的符号上有差异而对于所有实践用途都是同一的 如果h G G displaystyle h G to G 是群同态 我们称之为G displaystyle G 的自同态 如果它进一步的是双射并且因此是同构 则称为自同构 群G displaystyle G 的所有自同构的集合 带有函数复合作为运算 自身形成一个群 叫做G displaystyle G 的自同构群 记为A u t G displaystyle mathrm Aut G 例如说 Z displaystyle mathbb Z 的自同构群只有两个元素 恒等变换和乘以 1 displaystyle 1 它同构于Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z 满同态是满射的同态 单同态是单射的同态 阿贝尔群的同态 编辑如果G displaystyle G 和H displaystyle H 是阿贝尔群 就是交换群 则所有从G displaystyle G 到H displaystyle H 的群同态的集合H o m G H displaystyle mathrm Hom G H 自身是阿贝尔群 两个同态的和h k displaystyle h k 定义为 对于所有G displaystyle G 中u displaystyle u h k u h u k u displaystyle h k u h u k u H displaystyle H 的交换律对于证明h k displaystyle h k 也是群同态是必需的 同态的加法在如下意义上兼容于同态的复合 如果f displaystyle f 在H o m K G displaystyle mathrm Hom K G 中 h displaystyle h k displaystyle k 是H o m G H displaystyle mathrm Hom G H 的元素 并且g displaystyle g 在H o m H L displaystyle mathrm Hom H L 中 则 h k f h f k f displaystyle h k circ f h circ f k circ f 并且g h k g h g k displaystyle g circ h k g circ h g circ k 这证明了一个阿贝尔群的所有自同态的集合E n d G displaystyle mathrm End G 形成了一个环 即G displaystyle G 的自同态环 例如 由两个Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z 的直积构成的阿贝尔群 克莱因四元群 的自同态群同构于带有Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z 内元素的2 2 displaystyle 2 times 2 矩阵的环 上述兼容性还证明所有阿贝尔群带有群同态的范畴形成了预加法范畴 存在直积和良定义的核使这个范畴成为阿贝尔范畴的原型 参见 编辑同态基本定理引用 编辑Lang Serge Algebra Graduate Texts in Mathematics 211 3rd Springer Verlag 2002 外部連結 编辑Group Homomorphism PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 群同態 amp oldid 75950458, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,