數學 上，自同構 （automophism）是從一個数学对象 到自身的同構 ，可以看為這對象的一個對稱 ，將這對象映射 到自身而保持其全部結構的一個途徑。一個對象的所有自同構的集合是一個群 ，稱為自同構群 ，大致而言，是這對象的對稱群 。
定義 自同構的精確定義，依賴於「數學對象」的種類，及這對象的「同構」的準確界定。可以定義這些概念的最一般情形，是在數學的一個抽象分支，稱為範疇論 。範疇論是研究抽象對象和這些對象間的態射 。
在範疇論中，自同構是一個自同態 （即是一個對象到自身的一個態射）而同時為（範疇論所定義的）同構 。
這是一個很抽象的定義，因為範疇論中，態射不一定是函數，對象不一定是集合。不過在更具象的情形中，對象會是有附加結構的集合，而態射會是保持這種結構的函數。
例如在抽象代數 中，一個數學對象是代數結構 ，如群 、環 、向量空間 等。一個同構就是雙射 的同態 （同態按代數結構而定， 例如群同態 、環同態 、線性算子 ）。
恆等態射（恆等映射 ）在某些情況稱為平凡自同構 。相對地，其他（非恆等）自同構稱為非平凡自同構 。
自同構群 如果一個對象X 的自同構組成一集合（而不是一個真類 ）那麼這些自同構以態射 複合 運算組成一個群。這個群稱為X 的自同構群 。可以直接檢查這的確是一個群：
閉合性 ：兩個自同態的複合是另一個自同態。結合性 ：態射複合一定有結合性。單位元素 ：單位元素是一個對象到自身的恆等映射，按定義一定存在。逆元素 ：任一同構按定義都有一個也是同構的逆映射，由於這逆映射也是同一對象的自同態，所以是自同構。在一個範疇C 中的一個對象X 的自同構群，記為AutC X )，如果內文明顯看出該範疇，可簡記為Aut(X )。
例子 在集合論 中，一個集合X 的元素的任一個置換 是一個自同構。X 的自同構群也稱為X 上的對稱群 。 在初等算術 中，整數 集Z ，考慮成在加法下的一個群，有唯一的非平凡自同構：取負。但是，考慮成一個環 ，便僅有平凡自同構。一般而言，取負是任何阿貝爾群 的自同構，但不是一個環或域 的自同構。 群自同構是一個群到自身的群同態 。非正式而言，這是一個使得結構不變的群元素置換。對任何群G ，有一個自然群同態G → Aut(G )，其像 是內自同構群 Inn(G )，其核 是G 的中心 。因此若G 有平凡 中心，則可以嵌入到其自同構群之中。[1] 在線性代數 中，向量空間 V 的一個自同態是一個線性算子 V → V 。一個自同構是V 上的一個可逆線性算子。當向量空間V 是有限維的，其自同構群即是一般線性群 GL(V )。 域自同構是從一個域 到自身的一個雙射 環同構。有理數 域Q 和實數 域R 都沒有非平凡域自同構。R 的一些子域有非平凡域自同構，但不能擴展至整個R （因為它們不能保持一個數在R 中有平方根的性質）。複數 域C 有唯一的非平凡自同構將R 映至R ：複共軛 ，但是有（不可數 ）無限多「野性」自同構（假設選擇公理 ）。[2] [3] 域擴張 理論很重要，尤其是伽羅瓦擴張 。在一個伽羅瓦擴張L /K 的情形，L 的自同構中，在子域K 上逐點固定的所有自同構所組成的子群 ，稱為該擴張的伽羅瓦群 。 p進數 域Q p 在圖論 中，一個圖 的圖自同構 頂點 的一個置換，使得邊與非邊保持不變：兩個頂點 若有邊連接，則在置換下這兩頂點的像有邊連接，反之亦然。 在幾何學 中，空間的一個自同構有時稱為空間的運動
歷史 群自同構的一個最早期的例子，是愛爾蘭 數學家 威廉·哈密頓 在1856年給出。在他的Icosian calculus [4]
使得 μ {\displaystyle \mu } λ {\displaystyle \lambda } [5]
內自同構和外自同構 有一些範疇，特別是群 、環 、李代數 ，其中的自同構可以分為兩種，稱為「內」自同構和「外」自同構。
對群而言，內自同構 就是群本身的元素的共軛作用 。對一個群G 的每個元素a ，以a 共軛是一個運算φ a G → G ，定義為φ a g ) = aga −1 （或a −1 ga ；用法各異）。易知以a 共軛是一個群自同構。內自同構組成 Aut(G )的一個正規子群 ，記作Inn(G )。
其他的自同構稱為外自同構 。商群 Aut(G ) / Inn(G )通常記為Out(G )；非平凡元素是包含外自同構的陪集 。
在任何有幺元的環或代數 中的可逆元a ，可以同樣定義內自同構。對於李代數，定義有少許不同。
另見
參考文獻 ^ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorphisms. Mathematical foundations of computational engineering Felix Pahl translation. Springer. 2001: 376. ISBN 3-540-67995-2 ^ Yale, Paul B. (PDF) . Mathematics Magazine. May 1966, 39 (3): 135–141 [2015-08-20 ] . JSTOR 2689301 . doi:10.2307/2689301 . （原始内容 (PDF) 存档于2020-11-08）. ^ Lounesto, Pertti, Clifford Algebras and Spinors 2nd, Cambridge University Press: 22–23, 2001, ISBN 0-521-00551-5 ^ Sir William Rowan Hamilton. (PDF) . Philosophical Magazine. 1856, 12 : 446 [2015-08-20 ] . （原始内容 (PDF) 存档于2016-03-04）. ^ 原文為"so that μ {\displaystyle \mu } λ {\displaystyle \lambda }
外部連結
自同构, 數學上, 自同構, automophism, 是從一個数学对象到自身的同構, 可以看為這對象的一個對稱, 將這對象映射到自身而保持其全部結構的一個途徑, 一個對象的所有自同構的集合是一個群, 稱為自同構群, 大致而言, 是這對象的對稱群, 目录, 定義, 自同構群, 例子, 歷史, 內自同構和外自同構, 另見, 參考文獻, 外部連結定義, 编辑自同構的精確定義, 依賴於, 數學對象, 的種類, 及這對象的, 同構, 的準確界定, 可以定義這些概念的最一般情形, 是在數學的一個抽象分支, 稱為範疇論, 範疇. 數學上 自同構 automophism 是從一個数学对象到自身的同構 可以看為這對象的一個對稱 將這對象映射到自身而保持其全部結構的一個途徑 一個對象的所有自同構的集合是一個群 稱為自同構群 大致而言 是這對象的對稱群 目录 1 定義 2 自同構群 3 例子 4 歷史 5 內自同構和外自同構 6 另見 7 參考文獻 8 外部連結定義 编辑自同構的精確定義 依賴於 數學對象 的種類 及這對象的 同構 的準確界定 可以定義這些概念的最一般情形 是在數學的一個抽象分支 稱為範疇論 範疇論是研究抽象對象和這些對象間的態射 在範疇論中 自同構是一個自同態 即是一個對象到自身的一個態射 而同時為 範疇論所定義的 同構 這是一個很抽象的定義 因為範疇論中 態射不一定是函數 對象不一定是集合 不過在更具象的情形中 對象會是有附加結構的集合 而態射會是保持這種結構的函數 例如在抽象代數中 一個數學對象是代數結構 如群 環 向量空間等 一個同構就是雙射的同態 同態按代數結構而定 例如群同態 環同態 線性算子 恆等態射 恆等映射 在某些情況稱為平凡自同構 相對地 其他 非恆等 自同構稱為非平凡自同構 自同構群 编辑如果一個對象X的自同構組成一集合 而不是一個真類 那麼這些自同構以態射複合運算組成一個群 這個群稱為X的自同構群 可以直接檢查這的確是一個群 閉合性 兩個自同態的複合是另一個自同態 結合性 態射複合一定有結合性 單位元素 單位元素是一個對象到自身的恆等映射 按定義一定存在 逆元素 任一同構按定義都有一個也是同構的逆映射 由於這逆映射也是同一對象的自同態 所以是自同構 在一個範疇C中的一個對象X的自同構群 記為AutC X 如果內文明顯看出該範疇 可簡記為Aut X 例子 编辑在集合論中 一個集合X的元素的任一個置換是一個自同構 X的自同構群也稱為X上的對稱群 在初等算術中 整數集Z 考慮成在加法下的一個群 有唯一的非平凡自同構 取負 但是 考慮成一個環 便僅有平凡自同構 一般而言 取負是任何阿貝爾群的自同構 但不是一個環或域的自同構 群自同構是一個群到自身的群同態 非正式而言 這是一個使得結構不變的群元素置換 對任何群G 有一個自然群同態G Aut G 其像是內自同構群Inn G 其核是G的中心 因此若G有平凡中心 則可以嵌入到其自同構群之中 1 在線性代數中 向量空間V的一個自同態是一個線性算子 V V 一個自同構是V上的一個可逆線性算子 當向量空間V是有限維的 其自同構群即是一般線性群GL V 域自同構是從一個域到自身的一個雙射環同構 有理數域Q和實數域R都沒有非平凡域自同構 R的一些子域有非平凡域自同構 但不能擴展至整個R 因為它們不能保持一個數在R中有平方根的性質 複數域C有唯一的非平凡自同構將R映至R 複共軛 但是有 不可數 無限多 野性 自同構 假設選擇公理 2 3 域自同構對域擴張理論很重要 尤其是伽羅瓦擴張 在一個伽羅瓦擴張L K的情形 L的自同構中 在子域K上逐點固定的所有自同構所組成的子群 稱為該擴張的伽羅瓦群 p進數域Qp沒有非平凡自同構 在圖論中 一個圖的圖自同構 英语 Graph automorphism 是頂點的一個置換 使得邊與非邊保持不變 兩個頂點若有邊連接 則在置換下這兩頂點的像有邊連接 反之亦然 在幾何學中 空間的一個自同構有時稱為空間的運動 英语 motion geometry 一些特定名詞也會使用 在度量幾何中 一個自同構是一個自等距同構 空間的自同構群也稱為空間的等距群 在黎曼曲面範疇中 一個自同構是一個曲面到自身的雙全純 英语 Biholomorphism 映射 也稱為共形映射 例如黎曼球面的自同構是莫比烏斯變換 一個微分流形M的自同構是從M到自身的微分同胚 自同構群有時記為Diff M 在拓撲學中 拓撲空間的態射是連續映射 一個拓撲空間的自同構是空間到自身的同胚 即是自同胚 見同胚群 英语 homeomorphism group 在這例子中 一個態射是雙射的 並不足以使這態射為一個同構 因其逆映射未必連續 歷史 编辑群自同構的一個最早期的例子 是愛爾蘭數學家威廉 哈密頓在1856年給出 在他的Icosian calculus 英语 Icosian calculus 中 他發現了一個2階的自同構 4 寫道 使得m displaystyle mu 是新的五次單位根 與之前的五次單位根l displaystyle lambda 以完美互反性的關係相關聯 5 內自同構和外自同構 编辑有一些範疇 特別是群 環 李代數 其中的自同構可以分為兩種 稱為 內 自同構和 外 自同構 對群而言 內自同構就是群本身的元素的共軛作用 對一個群G的每個元素a 以a共軛是一個運算fa G G 定義為fa g aga 1 或a 1ga 用法各異 易知以a共軛是一個群自同構 內自同構組成 Aut G 的一個正規子群 記作Inn G 其他的自同構稱為外自同構 商群Aut G Inn G 通常記為Out G 非平凡元素是包含外自同構的陪集 在任何有幺元的環或代數中的可逆元a 可以同樣定義內自同構 對於李代數 定義有少許不同 另見 编辑自同態環 英语 Endomorphism ring 反自同構 英语 Antiautomorphism 弗羅貝尼烏斯自同構 態射 特徵子群 英语 Characteristic subgroup 參考文獻 编辑 PJ Pahl R Damrath 7 5 5 Automorphisms Mathematical foundations of computational engineering Felix Pahl translation Springer 2001 376 ISBN 3 540 67995 2 Yale Paul B Automorphisms of the Complex Numbers PDF Mathematics Magazine May 1966 39 3 135 141 2015 08 20 JSTOR 2689301 doi 10 2307 2689301 原始内容 PDF 存档于2020 11 08 Lounesto Pertti Clifford Algebras and Spinors 2nd Cambridge University Press 22 23 2001 ISBN 0 521 00551 5 Sir William Rowan Hamilton Memorandum respecting a new System of Roots of Unity PDF Philosophical Magazine 1856 12 446 2015 08 20 原始内容 PDF 存档于2016 03 04 原文為 so that m displaystyle mu is a new fifth root of unity connected with the former fifth root l displaystyle lambda by relations of perfect reciprocity 外部連結 编辑Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics 页面存档备份 存于互联网档案馆 埃里克 韦斯坦因 Automorphism MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 自同构 amp oldid 76236322, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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