莫比乌斯变换, 关于对数论函数进行的变换, 請見, 默比乌斯反演公式, 在几何学里, 是一类从黎曼球面映射到自身的函数, 用扩展复平面上的复数表示的话, 其形式为, displaystyle, frac, 其中, 为满足, 0的, 扩展, 复数, 也可以被分解为以下几个变换, 把平面射影到球面上, 把球体进行旋转, 位移等任何变换, 然后把它射影回平面上, 是以数学家奥古斯特, 费迪南德, 莫比乌斯的名字命名的, 它也被叫做单应变换, homographic, transformation, 或分式线性变换, li. 关于对数论函数进行的变换 請見 默比乌斯反演公式 在几何学里 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数 用扩展复平面上的复数表示的话 其形式为 f z a z b c z d displaystyle f z frac az b cz d 其中 z a b c d 为满足 ad bc 0的 扩展 复数 莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换 把平面射影到球面上 把球体进行旋转 位移等任何变换 然后把它射影回平面上 莫比乌斯变换是以数学家奥古斯特 费迪南德 莫比乌斯的名字命名的 它也被叫做单应变换 homographic transformation 或分式线性变换 linear fractional transformation 目录 1 简介 2 定义 3 分解与基本性质 3 1 保角性与保圆性 3 2 复比不变性 3 3 确定莫比乌斯变换 4 矩阵表示 5 参见 6 参考来源简介 编辑莫比乌斯变换是定义在扩充复平面上的 扩充复平面是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合 C C displaystyle widehat mathbb C mathbb C cup infty nbsp 扩充复平面可以看做是一个球面 它的另一个名称就是黎曼球面 每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换 事实上 所有这样的变换都是莫比乌斯变换 所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群 称为 莫比乌斯群 记作 M C displaystyle mathcal M widehat mathbb C nbsp 这个群是黎曼球面 作为一个黎曼曲面 的自同构群 因此有时也被记作 Aut C displaystyle mbox Aut widehat mathbb C nbsp 莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群 因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位 定义 编辑莫比乌斯变换的常见形式为 f z a z b c z d displaystyle f z frac az b cz d nbsp 其中a b c d是任何满足 ad bc 0 的复数 当ad bc 的时候这个表达式退化成一个常数 通常约定常数函数不是莫比乌斯变换 当c 0 时 定义 f d c displaystyle f d c infty nbsp f a c displaystyle f infty a c nbsp 这样便将莫比乌斯变换扩展到整个黎曼球面上 如果c 0 那么定义 f displaystyle f infty infty nbsp 1 这样定义后莫比乌斯变换就成为了黎曼球面上的一个一一对应的全纯函数 由于对莫比乌斯变换的每一个系数乘上一个相同的系数l displaystyle lambda nbsp 后不会改变这个变换 l a z l b l c z l d a z b c z d displaystyle frac lambda az lambda b lambda cz lambda d frac az b cz d nbsp 所以也有的定义中将ad bc 0 的条件改成 ad bc 1 这样的定义下得到的莫比乌斯变换可以说是 约简后 的莫比乌斯变换 2 22 分解与基本性质 编辑莫比乌斯变换的实质与反演密切相关 实际上 一个形如 f z a z b c z d displaystyle f z frac az b cz d nbsp 的莫比乌斯变换可以分解成四个变换 3 51 f 1 z z d c displaystyle f 1 z z d c nbsp 按d c 做平移变换 f 2 z 1 z displaystyle f 2 z 1 z nbsp 关于单位圆做反演变换然后关于实数轴做镜面反射 f 3 z a d b c c 2 z displaystyle f 3 z ad bc c 2 cdot z nbsp 做关于原点的位似变换然后做旋转 f 4 z z a c displaystyle f 4 z z a c nbsp 按a c 做平移变换 这四个变换的复合就是莫比乌斯变换 f 4 f 3 f 2 f 1 z f z a z b c z d displaystyle f 4 circ f 3 circ f 2 circ f 1 z f z frac az b cz d nbsp 在这种分解之下 我们可以清楚地看出莫比乌斯变换的不少基本性质 首先 由于以上分解中的每个变换都是可逆的 它们的逆变换也十分清楚 因此可以容易地看出 莫比乌斯变换的逆变换也是一个莫比乌斯变换 而且其表达式可以具体计算 具体来说 设变换函数g 1 g 2 g 3 g 4 displaystyle g 1 g 2 g 3 g 4 nbsp 其中每一个g i displaystyle g i nbsp 都是相应的f i displaystyle f i nbsp 的逆变换 反函数 g i f i 1 displaystyle g i f i 1 nbsp 那么莫比乌斯变换f的逆变换就是 f 1 z g 1 g 2 g 3 g 4 z d z b c z a displaystyle f 1 z g 1 circ g 2 circ g 3 circ g 4 z frac dz b cz a nbsp 3 51保角性与保圆性 编辑 由于莫比乌斯变换可以分解为平移 反演 位似与旋转变换 因此能够保持所有反演变换的性质 一个基本的例子是保角性 由于平移 反演 位似与旋转变换都保持角度不变 因此两个复数 或向量 之间的幅角差 夹角 在经过莫比乌斯变换后不变 此外 一个广义圆经过莫比乌斯变换后 仍会映射到一个广义圆 广义圆是指黎曼球面上的圆 包括普通的圆形和带无穷远点的直线 可以认为是一个半径无限大的圆 这也是反演保持广义圆的结果 当然莫比乌斯变换并不是将圆映射到圆 将直线映射到直线 经过映射后直线可能变成圆 圆也可能变成直线 复比不变性 编辑 莫比乌斯变换也可以保持复数的复比不变 设有四个两两不同的复数z 1 z 2 z 3 z 4 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 nbsp 对应扩充复平面上四个不同的点 它们经过莫比乌斯变换后变成w 1 w 2 w 3 w 4 displaystyle w 1 w 2 w 3 w 4 nbsp 四点 那么复比 z 1 z 3 z 2 z 4 z 2 z 3 z 1 z 4 w 1 w 3 w 2 w 4 w 2 w 3 w 1 w 4 displaystyle frac z 1 z 3 z 2 z 4 z 2 z 3 z 1 z 4 frac w 1 w 3 w 2 w 4 w 2 w 3 w 1 w 4 nbsp 当 z 1 z 2 z 3 z 4 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 nbsp 中有一个或多个是无穷大时 复比就定义为相应逼近的极限 比如说当四个复数是 z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 infty nbsp 时 复比就是 z 1 z 3 z 2 z 3 displaystyle frac z 1 z 3 z 2 z 3 nbsp 确定莫比乌斯变换 编辑 给定平面上三个不同点 z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 nbsp 存在着唯一的一个莫比乌斯变换f displaystyle f nbsp 使得f z 1 f z 2 f z 3 displaystyle f z 1 f z 2 f z 3 nbsp 分别等于 0 1 displaystyle 0 1 infty nbsp 这个莫比乌斯变换就是 f z z z 1 z 2 z 3 z z 3 z 2 z 1 displaystyle f z frac z z 1 z 2 z 3 z z 3 z 2 z 1 nbsp 而由于对于另外的三个不同点 w 1 w 2 w 3 displaystyle w 1 w 2 w 3 nbsp 也唯一存在一个莫比乌斯变换g displaystyle g nbsp 使得g w 1 g w 2 g w 3 displaystyle g w 1 g w 2 g w 3 nbsp 分别等于 0 1 displaystyle 0 1 infty nbsp 因此 对于任意一组出发点 z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 nbsp 任意一组到达点 w 1 w 2 w 3 displaystyle w 1 w 2 w 3 nbsp 都唯一存在一个莫比乌斯变换 将z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 nbsp 分别映射到点 w 1 w 2 w 3 displaystyle w 1 w 2 w 3 nbsp 具体地说 这个变换就是g 1 f displaystyle g 1 circ f nbsp 3 59 60 作为推论 如果一个莫比乌斯变换有三个不动点 那么它是恒等变换 矩阵表示 编辑莫比乌斯变换构成的莫比乌斯群M C displaystyle mathcal M widehat mathbb C nbsp 和由二阶复可逆矩阵所构成的二阶复系数一般线性群G L 2 C displaystyle mathcal GL 2 mathbb C nbsp 有同态的关系 事实上 考虑一个二阶的可逆矩阵 A a 1 a 2 a 3 a 4 displaystyle A begin pmatrix a 1 amp a 2 a 3 amp a 4 end pmatrix nbsp 其中a 1 a 4 a 2 a 3 0 displaystyle a 1 a 4 a 2 a 3 neq 0 nbsp 那么由矩阵的系数 a 1 a 2 a 3 a 4 displaystyle a 1 a 2 a 3 a 4 nbsp 可以写出一个莫比乌斯变换 g A z a 1 z a 2 a 3 z a 4 displaystyle g A z mapsto frac a 1 z a 2 a 3 z a 4 nbsp 而如果考虑映射 G L 2 C M C displaystyle mathcal GL 2 mathbb C longrightarrow mathcal M widehat mathbb C nbsp f A g A displaystyle varphi A quad mapsto quad g A nbsp 则经过计算可以知道 g A B g A g B displaystyle g AB g A circ g B nbsp 也就是说 f A B f A f B displaystyle varphi AB varphi A circ varphi B nbsp 因此f displaystyle varphi nbsp 是一个群同态 3 53 注意到对所有的复数l displaystyle lambda nbsp l a 1 z l a 2 l a 3 z l a 4 a 1 z a 2 a 3 z a 4 displaystyle frac lambda a 1 z lambda a 2 lambda a 3 z lambda a 4 frac a 1 z a 2 a 3 z a 4 nbsp 所以变换g l A g A displaystyle g lambda A g A nbsp 因此 可以将起始空间由一般线性群缩小到特殊线性群S L 2 C displaystyle mathcal SL 2 mathbb C nbsp 而由于有且仅有单位矩阵I d 2 displaystyle mathbf Id 2 nbsp 和负单位矩阵 I d 2 displaystyle mathbf Id 2 nbsp 在群同态f displaystyle varphi nbsp 下对应的莫比乌斯变换是恒等变换 所以f displaystyle varphi nbsp 的核是 I d 2 I d 2 displaystyle left mathbf Id 2 mathbf Id 2 right nbsp 根据群同态基本定理 有以下群同构关系 2 23 M C S L 2 C I d 2 I d 2 P S L 2 C displaystyle mathcal M hat mathbb C cong mathcal SL 2 mathbb C bigg left mathbf Id 2 mathbf Id 2 right mathbb P mathcal SL 2 mathbb C nbsp 其中P S L 2 C displaystyle mathbb P mathcal SL 2 mathbb C nbsp 为复平面上的射影特殊线性群 参见 编辑双曲几何 勞侖茲群 共形几何 庞加莱半平面模型 射影几何参考来源 编辑 英文 Mobius Transformation and the Extended Complex Plane 互联网档案馆的存檔 存档日期2015 04 17 牛津大学数学系讲义 2 0 2 1 英文 Gabor Toth Finite Mobius groups minimal immersions of spheres and moduli Springer 1 edition 2001 ISBN 978 0387953236 3 0 3 1 3 2 3 3 英文 Knopp Konrad Elements of the Theory of Functions New York Dover 1952 ISBN 978 0 486 60154 0 取自 https zh wikipedia org w index php title 莫比乌斯变换 amp oldid 68470417, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,