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镜面反射 (数学)

二月 04, 2023

设α为n维欧氏空间V上的单位向量，称线性变换Sα=ξ-2(ξ,α)α（∀ξ∈V）为n维欧氏空间V的一个镜面反射。

基本性质

  1. 镜面反射是正交变换。
  2. 镜面反射的逆变换为镜面反射。
  3. 任意一个正交变换都可以表示成若干个镜面反射的乘积。

主要定理

  1. 设S为n维欧氏空间V上的正交变换。则S为镜面反射的充要条件：S以1为特征值，且S 属于1的特征子空间V1为n-1维
    • 此定理说明n维欧氏空间V上的镜面反射Sα是向量对以α为法向量的n-1维子空间的反射。
  2. 矩阵A=En-2uu′，其中u为n 维列向量，且u′u=1。
    1. Sα为n维欧氏空间V的镜面反射，则Sα在V的任一标准正交基础下的矩阵为A；
    2. n维欧氏空间V的正交变换S在V的某一标准正交基下的矩阵为A，则S为V的镜面反射。
    3. 设σ为n维欧氏空间V的任一正交变换，则σ可表成一些镜面反射的乘积。

资料来源

  1. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.
  2. 张禾瑞、郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1997.1998

二月 04, 2023
镜面反射, 数学, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2019年4月29日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标签, 此條目已列出參考文獻, 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明. 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2019年4月29日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 此條目已列出參考文獻 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明 2009年8月23日 请加上合适的文內引註来改善这篇条目 设a为n维欧氏空间V上的单位向量 称线性变换Sa 3 2 3 a a 3 V 为n维欧氏空间V的一个镜面反射 基本性质 编辑镜面反射是正交变换 镜面反射的逆变换为镜面反射 任意一个正交变换都可以表示成若干个镜面反射的乘积 主要定理 编辑设S为n维欧氏空间V上的正交变换 则S为镜面反射的充要条件 S以1为特征值 且S 属于1的特征子空间V1为n 1维 此定理说明n维欧氏空间V上的镜面反射Sa是向量对以a为法向量的n 1维子空间的反射 矩阵A En 2uu 其中u为n 维列向量 且u u 1 Sa为n维欧氏空间V的镜面反射 则Sa在V的任一标准正交基础下的矩阵为A n维欧氏空间V的正交变换S在V的某一标准正交基下的矩阵为A 则S为V的镜面反射 设s为n维欧氏空间V的任一正交变换 则s可表成一些镜面反射的乘积 资料来源 编辑北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 第二版 M 北京 高等教育出版社 1988 张禾瑞 郝炳新 高等代数 第四版 M 北京 高等教育出版社 1997 1998 取自 https zh wikipedia org w index php title 镜面反射 数学 amp oldid 54213736, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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