标准正交基, 在线性代数中, 一个内积空间的正交基, orthogonal, basis, 是元素两两正交的基, 称基中的元素为基向量, 假若, 一个正交基的基向量的模长都是单位长度1, 则称这正交基为或, 规范正交基, orthonormal, basis, 无论在有限维还是无限维空间中, 正交基的概念都是很重要的, 在无限维希尔伯特空间中, 正交基不再是哈默尔基, 也就是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合, 因此在无限维空间中, 正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成, 张成的. 在线性代数中 一个内积空间的正交基 orthogonal basis 是元素两两正交的基 称基中的元素为基向量 假若 一个正交基的基向量的模长都是单位长度1 则称这正交基为标准正交基或 规范正交基 Orthonormal basis 无论在有限维还是无限维空间中 正交基的概念都是很重要的 在无限维希尔伯特空间中 正交基不再是哈默尔基 也就是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合 因此在无限维空间中 正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成 张成的空间是原空间的一个稠密子空间 而不是整个空间 的集合 注意 在没有定义内积的空间中 正交基 一词是没有意义的 因此 一个具有正交基的巴拿赫空间 就是一个希尔伯特空间 目录 1 例子 2 基本性质 3 正交基的存在性 4 哈默尔基 5 参看例子 编辑在欧几里德空间R 3 displaystyle mathbb R 3 中 集合 e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 组成一个标准正交基 由fn x exp 2pinx 定义的集合 fn n Z 组成在复勒贝格空间L2 0 1 上的一个标准正交基 基本性质 编辑B是H上的一个正交基 那么H中的每个元素x都可以表示成 x b B x b b 2 b displaystyle x sum b in B langle x b rangle over lVert b rVert 2 b 当B是标准正交基时 就是 x b B x b b displaystyle x sum b in B langle x b rangle b x的模长表示为 x 2 b B x b 2 displaystyle x 2 sum b in B langle x b rangle 2 即使B不是可数的 上面和式里的非零项也只会有可数多个 所以这个表达式仍然是有效的 上式被称作x的傅立叶展开 详见傅里叶级数 若B是H上的一个标准正交基 那么H 同构 于序列空间l2 B 因为存在以下H gt l2 B 的双射F 使得对于所有H中的x和y有 F x F y x y displaystyle langle Phi x Phi y rangle langle x y rangle 正交基的存在性 编辑运用佐恩引理和格拉姆 施密特正交化方法 可以证明每个希尔伯特空间都有基 并且有正交基 同一个空间的正交基的基数必然是相同的 当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基 就说这个空间是可分的 哈默尔基 编辑有前面的定义可以知道 在无穷维空间的情况下 正交基不再是一般线性代数的定义下的基 为了区分 把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基 在内积空间的实际应用中 哈默尔基甚少出现 因此提到 基 的概念时 一般指的是正交基 参看 编辑基 線性代數 正交 正交化 格拉姆 施密特正交化 正交分解 正交矩阵 垂直 取自 https zh wikipedia org w index php title 标准正交基 amp oldid 73117715, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,