群同構

在抽象代數中，群同構是在兩個群之間的函數，它以關照到了群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個同構，則這兩個群叫做同構的。從群論的立場看，同構的群有相同的性質而不需要區分。

定義和符號

給定兩個群 (G, *) 和 (H, ${\displaystyle \odot }$ )，從 (G, *) 到 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的群同構是從 G 到 H 的雙射群同態。這意味著群同構是雙射函數 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$  使得對於所有 G 中的 u 和 v 有著

${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v)}$ 。

兩個群 (G, *) 和 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 是同構的如果存在一個群同構。這寫為:

${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot )}$ 

經常使用簡寫符號。在關於群運算沒有歧義的情況下，可以省略它:

${\displaystyle G\cong H}$ 

有時甚至簡寫為 G = H。這種表示是否引起歧義或混淆依賴於上下文。例如，在這兩個群是同一個群的子群的時候就不適合。參見后面的例子。

反過來說，給定群 (G, *)、集合 H 和雙射 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ，我們可以通過定義 ${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)}$  制造一個群 (H, ${\displaystyle \odot }$ )。

如果 H = G 并且 ${\displaystyle \odot }$  = * 則雙射是自同構。

例子

• 實數集帶有加法的群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ,+) 同構於正實數集帶有乘法的群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁺,×):

${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ 

通過同構

${\displaystyle f(x)=e^{x}\,}$ 

(參見指數函數)。

• 整數集帶有加法的群 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  的子群，而因子群 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ /${\displaystyle \mathbb {Z} }$  同構於絕對值為 1 的複數組成的乘法群 ${\displaystyle S^{1}}$ :

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ 

同構給出為

${\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}}$ 

對于所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 。

• 克萊因四元群同構於 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$  的兩個復本的直積(參見模算術)，并因此寫為 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ 。另一個符號是 Dih₂，因為它是二面體群。

• 如果 (G, *) 是無限循環群，則 (G, *) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。

某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如:

• 群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ , +) 同構於所有複數組成的加法群 (${\displaystyle \mathbb {C} }$ , +)。
• 非零複數集帶有乘法的群 (${\displaystyle \mathbb {C} }$ ^*, ·) 同構於上面提及的群 S¹。

性質

• 從 (G, *) 到 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的同構的核總是 {e_G} 這里的 e_G 是群 (G, *) 的單位元。

• 如果 (G, *) 同構於 (H,${\displaystyle \odot }$ )，并且如果 G 是阿貝爾群則 H 也是。

• 如果 (G, *) 是同構於 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的有限群，這里 f 是同構，則如果 a 屬于 G 并有階 n，則 f(a) 也是。

• 如果 (G, *) 是同構於 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的局部有限群，則 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 也是局部有限群。

• 前面的例子展示了同構總是保持“群性質”。

推論

從定義可以得出任何同構 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$  將映射 G 的單位元到 H 的單位元，

${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$ 

并且映射逆元到逆元，

${\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}}$ 

和更一般的，n 次冪到 n 次冪

${\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}}$ 

對於所有 u ∈ G，并且逆映射 ${\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G}$  也是群同構。

“同構”關係滿足等價關係的所有公理。如果 f 是在兩個群 G 和 H 之間的同構，則關於 G 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 f 轉換成關於 H 的同樣為真的陳述，反之亦然。

自同構

從群 (G,*) 到自身的同構叫做這個群的自同構。就是說這是雙射 ${\displaystyle f:G\rightarrow G}$  使得

${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}$ 。

自同構總是映射單位元到自身。共軛類在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。

兩個自同構的復合也是自同構，并且群 G 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群，即 G 的自同構群，指示為 Aut(G)。

對于所有阿貝爾群，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是，在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構，比如在克萊因四元群中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構，所以這個自同構群同構於 S₃ 和 Dih₃。

在對於素數 p 的 Z_p 中，一個非單位元元素可以被替換為另一個，帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Z_{p − 1}。例如，對于 n = 7，Z₇ 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個自同構群中的一個 6 階自同構，因為 3⁶ = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z₆。這里還有一個自同構有這個性質: Z₇ 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z₆ 的元素 1 和 5，以這個次序或反過來。

Z₆ 的自同構群同構於 Z₂，因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z₆，所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z₂ × Z₂ × Z₂ = Dih₂ × Z₂ 的自同構群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 2³ - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 2³ - 2¹ = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 2³ - 2² = 4 個選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個自同構。它們對應於Fano平面的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。

對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構。

非阿貝爾群有非平凡的內自同構群，并可能也有外自同構。

參見

• 同構基本定理