單位元

提示：此条目的主题不是单位圆。

單位元，也称为恒等元、中立元（英語：Identity element, neutral element）是集合裏的一種特別的元素，與該集合裏的二元運算有關。當單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元被使用在群和其他相關概念之中。

設${\displaystyle (S,*)}$為一帶有一二元運算${\displaystyle *}$的集合${\displaystyle S}$（稱之為原群），則${\displaystyle S}$內的一元素${\displaystyle e}$被稱為左單位元若對所有在S內的a而言，${\displaystyle e*a=a}$；且被稱為右單位元若對所有在S內的a而言，${\displaystyle a*e=a}$。而若${\displaystyle e}$同時為左單位元及右單位元，則稱之為雙邊單位元，又簡稱為單位元。

對應於加法的單位元稱之為加法單位元（通常被標為0），而對應於乘法的單位元則稱之為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

例子

集合	運算	單位元
實數	+（加法）	0
實數	·（乘法）	1
實數	${\displaystyle a^{b}}$ （乘方）	1（只為右單位元）
複數	+（加法）	0
複數	·（乘法）	1
矩陣	+（加法）	零矩陣
方陣	·（乘法）	單位矩陣
所有從集合M映射至其自身的函數	${\displaystyle \circ }$ （函數複合）	單位函數
所有從集合M映射至其自身的函數	${\displaystyle *}$ （摺積）	${\displaystyle \delta }$ （狄拉克δ函數）
字串	串接	空字元串
擴展的實數軸	最大值	${\displaystyle \infty }$
擴展的實數軸	最小值	${\displaystyle -\infty }$
集合M的子集	${\displaystyle \cap }$ （交集）	M
集合	${\displaystyle \cup }$ （聯集）	${\displaystyle \{\}}$ （空集）
布爾邏輯	${\displaystyle \land }$ （邏輯與）	⊤（真值）
布爾邏輯	${\displaystyle \lor }$ （邏輯或）	⊥（假值）
閉二維流形	#（連通和）	${\displaystyle S^{2}}$
只兩個元素${\displaystyle \{e,f\}}$	* 定義為 ${\displaystyle e*e=f*e=e}$ 且 ${\displaystyle f*f=e*f=f}$	${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle f}$ 都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元

如最後一個例子所示，有若干個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同且只存在單一個雙邊單位元。要證明這個，設${\displaystyle I}$ 為左單位元且${\displaystyle r}$ 為右單位元，則${\displaystyle I=I*r=r}$ 。特別地是，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle f}$ 的話，則${\displaystyle e*f}$ 必同時等於${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle f}$ 。

一個代數沒有單位元也是有可能的。最一般的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交－因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

另見

• 逆元素
• 加法逆元
• 幺半群
• 單作
• 擬群