在數學 中，商群 或因子群 是通过保持群结构的等价关系 来把较大群中的类似元素聚类而产生的群 。 給定一個群 G 和G 的正規子群 N ，G 在N 上的商群 或因子群 ，在直覺上是把正規子群N “萎縮”為單位元 的群。商群寫為G /N 并念作G mod N （mod 是模 的簡寫）。如果N 不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間 。
群论 群 无限维群 共形群环路群 量子群
群的子集的乘積 在隨后的討論中，我們將使用在G 的子集上的二元運算：如果給出G 的兩個子集S 和T ，我們定義它們的乘積 為ST = { st : s ∈S 并且t ∈T }。這個運算是符合結合律 的并有單位元 為單元素集合 {e }，這里的e 是G 的單位元。因此，G 的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半群 。
憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什么，并接著解釋正規子群是什么：
群G 的商群是G 的一個劃分 ，而它在這個乘積運算下是群。 它完全由包含e 的子集所確定。G 的正規子群 是在任何這種劃分中包含e 的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集 。
群G 的子群N 是正規子群，當且僅當 陪集等式aN = Na 對于所有G 中的a 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，G 的正規子群是交換於G 的所有子集的子群，并指示為N ⊲ G 。置換於G 的所有子群的子群叫做可置換子群。
定義 設N 是群G 的正規子群 。我們定義集合G /N 是N 在G 中的所有左陪集的集合，就是說G /N = { aN : a ∈G }。在G /N 上的群運算定義如上。換句話說，對于每個G /N 中aN 和bN ，aN 和bN 的乘積是 (aN )（bN ）。這個運算是閉合的，因為 (aN )(bN )實際上是左陪集：
(aN )(bN ) = a (Nb )N = a (bN )N =(ab )NN =(ab )N 。 N 的正規性被用在了這個等式中。因為N 的正規性，N 在G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以G /N 也可以定義為N 在G 中所有的右陪集的集合。因為運算是從G 的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義 的（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律的，并有單位元N 。G /N 的元素aN 的逆元是a −1 N 。
定義的動機 G /N 叫做商群的理由來自整數 的除法 。在12除以3 的時候得到答案4是因為我們可以把12個對象重新分組為3個對象的4個子搜集。商群出于同樣想法，但用一個群作為最終答案而非一個數，因為群要比對象的隨機搜集要更有結構。
更細致的說，在查看G /N 而N 是G 的正規子群的時候，這個群結構形成一種自然“重新分組”。它們是N 在G 中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的（正常除法所產生的）數目要更多的信息，這里得到了一個群結構自身。
例子 考慮整數 集Z （在加法下）的群和所有偶數構成的子群2Z 。這是個正規子群，因為Z 是阿貝爾群 。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群Z /2Z 是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合{ 0, 1 }帶有模2加法運算的群；非正式的說，有時稱Z /2Z 等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集Z 在加法下的群。設n 是任何正整數。我們考慮由n 的所有倍數構成的Z 的子群n Z 。n Z 在Z 中還是正規子群因為Z 是阿貝爾群。陪集們是搜集{n Z ,1+n Z ,...,(n −2)+n Z ,(n −1)+n Z }。整數k 屬于陪集r +n Z ，這里的r 是k 除以n 的馀數。商Z /n Z 可以被認為模以n 的“馀數”的群。這是個n 階循環群 。 考慮複數 十二次單位一的根 的乘法阿貝爾群G ，它們是在單位圓 上的點，它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群N ，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群G /N 是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。 考慮實數 集R 在加法下的群，和整數集子群Z 。Z 在R 中的陪集們是形如a + Z 的所有集合，這里0 ≤ a < 1是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，并在結果大於或等于1的時候減去1完成的。商群R /Z 同構於圓群 S1 ，它是絕對值 為1的複數 在乘法下的群，或者說關于原點的二維旋轉 的群，也就是特殊正交群 SO(2)。有一個同構給出為f (a + Z ) = exp（2πia ，參見歐拉恒等式 ）。 如果G 是可逆的3 × 3實數矩陣 的群，而N 是帶有行列式 為1的3 × 3實數矩陣的子群，那么N 在G 中是正規子群（因為它是行列式同態 的核）。N 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此G /N 同構於非零實數的乘法群。 考慮阿貝爾群Z 4 = Z /4Z （也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法模 4），和它的子群{ 0, 2 }。商群Z 4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群，群運算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構於Z 2 。 考慮乘法群 G = Z n 2 ∗ {\displaystyle G=\mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}} n 個馀數的集合N 是 Z n ∗ {\displaystyle \mathbf {Z} _{n}^{*}} ϕ (n )N 在G 中是正規子群并且因子群G /N 有陪集N ,（1+n ）N , (1+n )2 N,…,(1+n )n −1n 的因子分解的時候難于確定G 的隨機元素的陪集的猜想 。
性質 商群G / G 同構 於平凡群（只有一個元素的群），而G / {e }同構於G 。
G / N 的階 定義為等于[G : N ]，它是N 在G 中的子群的指標 （index）。如果G 是有限的，這個指標還等于G 的階除以N 的階。注意G / N 可以在G 和N 二者是無限的時候是有限的（比如Z / 2Z ）。
有一個“自然”滿射 群同態 π : G → G / N ，把每個G 的元素g 映射到g 所屬于的N 的陪集上，也就是：π (g ) = gN 。映射π 有時叫做“G到G / N上的規范投影”。它的核 是N 。
在包含N 的G 的子群和G / N 的子群之間有一個雙射映射；如果H 是包含N 的G 的子群，則對應的G / N 的子群是π (H )。這個映射對于G 的正規子群和G / N 也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性質記錄在同態基本定理 和同構基本定理 中。
如果G 是阿貝爾群 、冪零群 或可解群 ，則G / N 也是。
如果G 是循環群 或有限生成群 ，則G / N 也是。
如果N 被包含在G 的中心 內，則G 也叫做這個商群的中心擴張 。
如果H 是在有限群G 中的子群，并且H 的階是G 的階的一半，則H 保證是正規子群，因此G / H 存在并同構於C 2 。這個結果還可以陳述為“任何指標為2的子群都是正規子群”，并且它的這種形式還適用於無限群。
所有群都同構於一個自由群 的商。
有時但非必然的，群G 可以從G / N 和N 重構為一個直積 或半直積 。判定何時成立的問題叫做擴張問題 。不成立的一個例子如下。Z 4 / { 0, 2 }同構於Z 2 ，并且還同構於{ 0, 2 }，但是唯一的半直積是直積，因為Z 2 只有一個平凡的自同構 。所以Z 4 不同于Z 2 × Z 2 ，它不能被重構。
參見
商群, 此條目翻譯品質不佳, 2017年1月27日, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 在數學中, 或因子群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群, 給. 此條目翻譯品質不佳 2017年1月27日 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 在數學中 商群或因子群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群 給定一個群G和G的正規子群N G在N上的商群或因子群 在直覺上是把正規子群N 萎縮 為單位元的群 商群寫為G N并念作G mod N mod是模的簡寫 如果N不是正規子群 商仍可得到 但結果將不是群 而是齊次空間 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 目录 1 群的子集的乘積 2 定義 3 定義的動機 4 例子 5 性質 6 參見群的子集的乘積 编辑在隨后的討論中 我們將使用在G的子集上的二元運算 如果給出G的兩個子集S和T 我們定義它們的乘積為ST st s S并且t T 這個運算是符合結合律的并有單位元為單元素集合 e 這里的e是G的單位元 因此 G的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半群 憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什么 并接著解釋正規子群是什么 群G的商群是G的一個劃分 而它在這個乘積運算下是群 它完全由包含e的子集所確定 G的正規子群是在任何這種劃分中包含e的集合 在劃分中的子集是這個正規子群的陪集 群G的子群N是正規子群 當且僅當陪集等式aN Na對于所有G中的a都成立 依據上述定義的在子集上的二元運算 G的正規子群是交換於G的所有子集的子群 并指示為N G 置換於G的所有子群的子群叫做可置換子群 定義 编辑設N是群G的正規子群 我們定義集合G N是N在G中的所有左陪集的集合 就是說G N aN a G 在G N上的群運算定義如上 換句話說 對于每個G N中aN和bN aN和bN的乘積是 aN bN 這個運算是閉合的 因為 aN bN 實際上是左陪集 aN bN a Nb N a bN N ab NN ab N N的正規性被用在了這個等式中 因為N的正規性 N在G中的左陪集和右陪集是相等的 所以G N也可以定義為N在G中所有的右陪集的集合 因為運算是從G的子集的乘積得出的 這個運算是良好定義的 不依賴於表示的特定選擇 符合結合律的 并有單位元N G N的元素aN的逆元是a 1N 定義的動機 编辑G N叫做商群的理由來自整數的除法 在12除以3的時候得到答案4是因為我們可以把12個對象重新分組為3個對象的4個子搜集 商群出于同樣想法 但用一個群作為最終答案而非一個數 因為群要比對象的隨機搜集要更有結構 更細致的說 在查看G N而N是G的正規子群的時候 這個群結構形成一種自然 重新分組 它們是N在G中陪集 因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的 正常除法所產生的 數目要更多的信息 這里得到了一個群結構自身 例子 编辑考慮整數集Z 在加法下 的群和所有偶數構成的子群2Z 這是個正規子群 因為Z是阿貝爾群 只有兩個陪集 偶數的集合和奇數的集合 因此商群Z 2Z是兩個元素的循環群 這個商群同構於集合 0 1 帶有模2加法運算的群 非正式的說 有時稱Z 2Z等于集合 0 1 帶有模2加法 上個例子的稍微一般化 再次考慮整數集Z在加法下的群 設n是任何正整數 我們考慮由n的所有倍數構成的Z的子群nZ nZ在Z中還是正規子群因為Z是阿貝爾群 陪集們是搜集 nZ 1 nZ n 2 nZ n 1 nZ 整數k屬于陪集r nZ 這里的r是k除以n的馀數 商Z nZ可以被認為模以n的 馀數 的群 這是個n階循環群 N在G中的陪集 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G 它們是在單位圓上的點 它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角 考慮它由單位一的四次根構成的子群N 在圖中表示為紅色球 這個正規子群把群分解為三個陪集 分別表示為紅色 綠色和藍色 你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群 紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素 藍色元素的逆元是綠色元素等等 因此商群G N是三種顏色元素的群 它又是三個元素的循環群 考慮實數集R在加法下的群 和整數集子群Z Z在R中的陪集們是形如a Z的所有集合 這里0 a lt 1是實數 這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法 并在結果大於或等于1的時候減去1完成的 商群R Z同構於圓群S1 它是絕對值為1的複數在乘法下的群 或者說關于原點的二維旋轉的群 也就是特殊正交群SO 2 有一個同構給出為f a Z exp 2pia 參見歐拉恒等式 如果G是可逆的3 3實數矩陣的群 而N是帶有行列式為1的3 3實數矩陣的子群 那么N在G中是正規子群 因為它是行列式同態的核 N的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們 因此G N同構於非零實數的乘法群 考慮阿貝爾群Z4 Z 4Z 也就是集合 0 1 2 3 帶有加法模4 和它的子群 0 2 商群Z4 0 2 是 0 2 1 3 這是帶有單位元 0 2 的群 群運算如 0 2 1 3 1 3 子群 0 2 和商群 0 2 1 3 同構於Z2 考慮乘法群G Z n 2 displaystyle G mathbf Z n 2 第n個馀數的集合N是Z n displaystyle mathbf Z n 的ϕ n 階乘法子群 則N在G中是正規子群并且因子群G N有陪集N 1 n N 1 n 2N 1 n n 1N Pallier加密系統基于了在不知道n的因子分解的時候難于確定G的隨機元素的陪集的猜想 性質 编辑商群G G 同構於平凡群 只有一個元素的群 而G e 同構於G G N的階定義為等于 G N 它是N在G中的子群的指標 index 如果G是有限的 這個指標還等于G的階除以N的階 注意G N可以在G和N二者是無限的時候是有限的 比如Z 2Z 有一個 自然 滿射群同態p G G N 把每個G的元素g映射到g所屬于的N的陪集上 也就是 p g gN 映射p有時叫做 G到G N上的規范投影 它的核是N 在包含N的G的子群和G N的子群之間有一個雙射映射 如果H是包含N的G的子群 則對應的G N的子群是p H 這個映射對于G的正規子群和G N也成立 并在格定理中形式化 商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中 如果G是阿貝爾群 冪零群或可解群 則G N也是 如果G是循環群或有限生成群 則G N也是 如果N被包含在G的中心內 則G也叫做這個商群的中心擴張 如果H是在有限群G中的子群 并且H的階是G的階的一半 則H保證是正規子群 因此G H存在并同構於C2 這個結果還可以陳述為 任何指標為2的子群都是正規子群 并且它的這種形式還適用於無限群 所有群都同構於一個自由群的商 有時但非必然的 群G可以從G N和N重構為一個直積或半直積 判定何時成立的問題叫做擴張問題 不成立的一個例子如下 Z4 0 2 同構於Z2 并且還同構於 0 2 但是唯一的半直積是直積 因為Z2只有一個平凡的自同構 所以Z4不同于Z2 Z2 它不能被重構 參見 编辑商環 也叫做因子環 群擴張 格定理 商范疇 短正合序列 取自 https zh wikipedia org w index php title 商群 amp oldid 67914523, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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