辛群

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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Sp(2n, F)

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 或非阿基米德局部域，如p進數域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於${\displaystyle n(2n+1)}$ 的連通代數群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 是單連通的，而${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 的基本群則同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$ 的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣${\displaystyle A}$ ：

${\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}$ 

其中${\displaystyle A^{T}}$ 表示${\displaystyle A}$ 的轉置矩陣，而${\displaystyle \Omega }$ 是下述反對稱矩陣

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$ 

Sp(n)

緊辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  定義為 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}}$ （${\displaystyle \mathbb {H} }$ 表四元數）上保持標準埃爾米特形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$ 

之可逆線性變換。換言之，${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  即四元數上的酉群${\displaystyle \mathrm {U} (n,\mathbb {H} )}$ 。有時此群也被稱為超酉群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)}$  即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ 。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  並不同構於之前定義的 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 。下節將解釋其間的聯繫。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  是 ${\displaystyle n(2n+1)}$  維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$ 

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$ 

其中 ${\displaystyle A^{\dagger }}$  是 ${\displaystyle A}$  的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)}$ 

辛群之間的關係

以上定義之${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 與${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作${\displaystyle C_{n}}$ 。此李代數也就是複李群${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 之李代數，記作${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 。它有兩個不同的實形式：

1. 緊緻形式${\displaystyle \mathrm {sp} (n)}$ ，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 之李代數。
2. 正規形式${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 。

辛群之間的關係

	矩陣	李群	dim/R	dim/C	緊緻	π1
Sp(2n, R)	R	實	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	複	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	實	n(2n + 1)	–	是	1

參見

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
• 哈密顿力学