在數學 的歷史中，群論 原本起源於對高于四次 的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论 的提出而确立。可解群 的概念產生於描述其根可以只用根式 （平方根、立方根等等及其和與積）表示的多項式 所对应的自同構群 所擁有的性質。
群论
群 无限维群 共形群环路群 量子群
一個群被稱為可解的 ，若它擁有一個其商群 皆為阿貝爾群 的正規列。或者等價地說，若其降正規列
G ▹ G ( 1 ) ▹ G ( 2 ) ▹ ⋯ , {\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,} 之中，每一個子群都會是前一個的导群 ，且最後一個為G 的平凡子群{1}。上述兩個定義是等價的，对一個群H 及H 的正規子群 N ，其商群H /N 為可交換的若且唯若 N 包含著H (1) 。
對於有限群，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為質數 階 的循環群 之合成列 的群。此一定義會等價是因為每一個簡單 阿貝爾群都是有質數階的循環群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質，則其循環群即會對應到某個體上的n 個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數群Z 的非當然子群皆同構 於Z 本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構於Z 的商群之正規列{0,Z }，證明了其確實是可解的。
和喬治·波里亞的格言「若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以 算出的較簡單的問題」相一致的，可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。
例子 所有的阿貝爾群都是可解的——其次正規群列为自身和平凡子群。但非阿貝爾群則不一定都是可解的。
更一般地，所有冪零群 都是可解的。特別地是，所有的有限p-群 都是可解的，因為所有的有限p-群 都會是冪零的。
可解但不為冪零的群的一個小例子為對稱群 S 3 。實際上，因最小的非阿貝爾的單群為A 5 (5个元的交錯群 )時，所有 小於60階的群皆為可解的。
群S 5 不是可解的－它有一合成列{E,A 5 ,S 5 }(若爾當-赫爾德定理 指出每個其他的合成列都會等價於此一合成列)，給出了同構於A 5 及C 2 的商群；而A 5 為非可換的。廣義化此一論述，結合A n n > 4時為S n n > 4的所有S n n > 4的n 次多項式 都不可以以方根得解的關鍵步驟。
著名的范特-湯普遜定理 指出，每一個奇數階的有限群皆是可解的。特別地，此定理指出，若一有限群為單群 ，其必為質數階循環羣 或是偶數階的。
性質 可解性的性質在某一意義上是可繼承的，如下：
若G 為可解的，且H 為G 的子群，則H 也是可解的。 若G 是可解的，且H 為G 的正規子群，則G /H 也是可解的。 若G 是可解的，且存在一G 滿射 至H 的同態 ，則H 也是可解的。 若H 及G /H 為可解的，則G 也是可解的。 若G 及H 為可解的，則其直積 G × H 也是可解的。
超可解群 做為可解性的加強版，一個群G 被稱為超可解的 ，若它有一其商群皆為循環群的不變 正規列；換句話說，if it is solvable with each A i G ，且每個A i +1A i
若限制在有限產生群中，將可以有下列的排序：
循環群 < 阿貝爾群 < 冪零群 < 超可解群 < 多循環群 < 可解群 < 有限生成群
连续可解群 既连通又可解的代数群。假设G是定义在代数闭域上的一个线性代数群，G的一个导序列是指按如下递归构造的一个正规闭子群序列：
D 0 ( G ) = G , D i + 1 ( G ) = ( D i ( G ) , D i ( G ) ) {\displaystyle D^{0}(G)=G,D^{i+1}(G)={\Bigl (}D^{i}(G),D^{i}(G){\Bigr )}}
如果G连通，这些Di （G）也都是连通的。G称作是可解的，如果存在自然数n，使得Dn （G）＝｛e｝，若G还是连通的，则称G是连通可解群。可解群的闭子群，商群还都是可解群.
参考文献
外部連結 - orders of non-solvable finite groups.
可解群, 在數學的歷史中, 群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋, 最終随着伽羅瓦理论的提出而确立, 的概念產生於描述其根可以只用根式, 平方根, 立方根等等及其和與積, 表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同態, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循環群, 冪零群, 圈積离散群有限單群分類, 循環群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有. 在數學的歷史中 群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋 最終随着伽羅瓦理论的提出而确立 可解群的概念產生於描述其根可以只用根式 平方根 立方根等等及其和與積 表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同態 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循環群 冪零群 可解群 圈積离散群有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编一個群被稱為可解的 若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列 或者等價地說 若其降正規列 G G 1 G 2 displaystyle G triangleright G 1 triangleright G 2 triangleright cdots 之中 每一個子群都會是前一個的导群 且最後一個為G的平凡子群 1 上述兩個定義是等價的 对一個群H及H的正規子群N 其商群H N為可交換的若且唯若N包含著H 1 對於有限群 有一個等價的定義為 一可解群為一有著其商群皆為質數階的循環群之合成列的群 此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數階的循環群 若爾當 赫爾德定理表示若一個合成列有此性質 則其循環群即會對應到某個體上的n個根 但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立 例如 因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身 它不會有合成列 但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列 0 Z 證明了其確實是可解的 和喬治 波里亞的格言 若有一個你無法算出的問題 則會有的你可以算出的較簡單的問題 相一致的 可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構 阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用 目录 1 例子 2 性質 3 超可解群 4 连续可解群 5 参考文献 6 外部連結例子 编辑所有的阿貝爾群都是可解的 其次正規群列为自身和平凡子群 但非阿貝爾群則不一定都是可解的 更一般地 所有冪零群都是可解的 特別地是 所有的有限p 群都是可解的 因為所有的有限p 群都會是冪零的 可解但不為冪零的群的一個小例子為對稱群S3 實際上 因最小的非阿貝爾的單群為A5 5个元的交錯群 時 所有小於60階的群皆為可解的 群S5不是可解的 它有一合成列 E A5 S5 若爾當 赫爾德定理指出每個其他的合成列都會等價於此一合成列 給出了同構於A5及C2的商群 而A5為非可換的 廣義化此一論述 結合An在n gt 4時為Sn的正規 最大且非阿貝爾簡單子群的事實 可知n gt 4的所有Sn皆不可解 此亦為證明每一個n gt 4的n次多項式都不可以以方根得解的關鍵步驟 著名的范特 湯普遜定理指出 每一個奇數階的有限群皆是可解的 特別地 此定理指出 若一有限群為單群 其必為質數階循環羣或是偶數階的 性質 编辑可解性的性質在某一意義上是可繼承的 如下 若G為可解的 且H為G的子群 則H也是可解的 若G是可解的 且H為G的正規子群 則G H也是可解的 若G是可解的 且存在一G滿射至H的同態 則H也是可解的 若H及G H為可解的 則G也是可解的 若G及H為可解的 則其直積G H也是可解的 超可解群 编辑做為可解性的加強版 一個群G被稱為超可解的 若它有一其商群皆為循環群的不變正規列 換句話說 if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G 且每個Ai 1 Ai都不只是可交換而已 且也是循環的 可能為無限階 因為一正規列在定義中有有限的長度 所以不可數阿貝爾群不會是超可解的 實際上 所有的超可解群皆為有限產生群 且一個阿貝爾群為超可解的若且唯若其為有限產生的 若限制在有限產生群中 將可以有下列的排序 循環群 lt 阿貝爾群 lt 冪零群 lt 超可解群 lt 多循環群 lt 可解群 lt 有限生成群连续可解群 编辑既连通又可解的代数群 假设G是定义在代数闭域上的一个线性代数群 G的一个导序列是指按如下递归构造的一个正规闭子群序列 D 0 G G D i 1 G D i G D i G displaystyle D 0 G G D i 1 G Bigl D i G D i G Bigr 如果G连通 这些Di G 也都是连通的 G称作是可解的 如果存在自然数n 使得Dn G e 若G还是连通的 则称G是连通可解群 可解群的闭子群 商群还都是可解群 参考文献 编辑外部連結 编辑A056866 orders of non solvable finite groups 取自 https zh wikipedia org w index php title 可解群 amp oldid 67863746, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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