合成列

在抽象代數中。合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 ${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M}$，使每個子商 ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ 皆為單模；這些單模稱為合成因子，${\displaystyle n}$ 稱為合成長度，都是 ${\displaystyle M}$ 的不變量。亦可考慮 ${\displaystyle M}$ 的子模範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，此時 ${\displaystyle [M]\in K({\mathcal {A}})}$ 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

群的情形

設 ${\displaystyle G}$  為群，${\displaystyle G}$  的合成列是對應於一族子群

${\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G}$ 

滿足 ${\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}}$ ，使其子商 ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$  皆為非平凡的單群；易言之，${\displaystyle H_{i}}$  是 ${\displaystyle H_{i+1}}$  的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

模的情形

固定環 ${\displaystyle R}$  及 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ 。${\displaystyle M}$  的合成列是一族子模

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$ 

其中每個子商 ${\displaystyle J_{k+1}/J_{k}}$  皆為非平凡的單模 。易言之，${\displaystyle J_{k}}$  是 ${\displaystyle J_{k+1}}$  的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 ${\displaystyle R}$  是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 ${\displaystyle R}$ -模皆有合成列。

例子

例子. 考慮 12 階循環群 ${\displaystyle C_{12}}$ ，它具有三個相異的合成列

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$ ,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}}$ ,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$ 

合成因子分別為

${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}$ 

${\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}$ 

${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}$ 

其間僅差個置換。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群 ${\displaystyle G}$ 〔或 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ 〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}$ 

${\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}$ 

對 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)}$  行數學歸納法。若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0}$  則 ${\displaystyle M=0}$ ，若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1}$  則 ${\displaystyle M}$  是單模。以下假定 ${\displaystyle r,s\geq 2}$ 。

若 ${\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}}$ ，據歸納法假設，${\displaystyle r-1=s-1}$  且 ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$  與 ${\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}}$ （${\displaystyle 0\leq i\leq r-2}$ ）之間僅差置換。此外 ${\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}}$ ，故定理成立。

設 ${\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}}$ 。此時必有 ${\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M}$ 。置 ${\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}}$ ，於是

${\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}$ 

${\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}$ 

取 ${\displaystyle N}$  的合成列 ${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N}$ ，依上式知

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}$ 

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}$ 

皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 ${\displaystyle M}$ ，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 ${\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }}$  的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

參見

• 正規列
• 長度 (模論)

站外連結

• O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4