阿廷環

阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。

定義

一個環${\displaystyle A}$ 稱作阿廷環，若且唯若對每個由${\displaystyle A}$ 的理想構成的降鏈${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots }$ ，必存在${\displaystyle N\subset \mathbb {N} }$ ，使得對所有的${\displaystyle n,m\geq N}$ 都有${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}}$ （換言之，此降鏈將會固定）。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環，A是左（右）阿廷環若且唯若A在自己的左（右）乘法下形成一個左（右）阿廷模；對於交換環則無須分別左右。

例子

• 設${\displaystyle k}$ 為一個域，若環${\displaystyle A}$ 是佈於${\displaystyle k}$ 上的有限維代數，則${\displaystyle A}$ 是阿廷環。

基本性質

若一個環${\displaystyle A}$ 是交換阿廷環，則滿足下列性質：

• ${\displaystyle A}$ 是諾特環。
• 每個素理想皆是極大理想。
• ${\displaystyle A}$ 僅有有限個素理想。
• 對每個素理想的局部化誘導出同構 ${\displaystyle A{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\prod _{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}}$ 。

就代數幾何的觀點，阿廷環的譜在拓樸上只是有限多個點，但其結構層可能帶有冪零的元素，這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

参见条目

• 阿廷代數（英语：Artin algebra）
• 阿廷理想（英语：Artinian ideal）
• Serial module（英语：Serial module）
• Semiperfect ring（英语：Semiperfect ring）
• 葛侖斯坦環——交換諾特環，其關於每個素理想的局部化，內射維度皆有限
• 諾特環——不具無窮遞升理想鏈的環

文獻

• Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X