循环群G = Z/3Z，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若H是这个群的一个子群，则它的阶一定是群G的阶3的约数，因为3是素数，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2Z和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群[1]。
^Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59
^M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES92 (2000), pp.151–194.
单群, 此條目介紹的是沒有非平凡正規子群的群, 关于比群更廣義的結構, 请见, 幺半群, 数学上的, 英語, simple, group, 是指没有非平凡正规子群的群, 任意一个群如果不是, 都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群, 这个过程可以一直做下去, 对于有限群, 若尔当, 赫尔德定理表明, 这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列, 最多相差一个置换, 在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同态, 直积, 直和, 有限群,. 此條目介紹的是沒有非平凡正規子群的群 关于比群更廣義的結構 请见 幺半群 数学上的单群 英語 Simple group 是指没有非平凡正规子群的群 任意一个群如果不是单群 都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群 这个过程可以一直做下去 对于有限群 若尔当 赫尔德定理表明 这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列 最多相差一个置换 在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 目录 1 定義 2 例子 2 1 有限单群 2 2 无限阶单群 3 分类 3 1 有限单群 4 有限单群的结构 5 群的非单性判据 6 重要性 7 参阅 8 参考文献 9 教科书 10 外部链接定義 编辑設 G displaystyle G 為群 如果其內的正規子群只有 G displaystyle G 本身與單位元e displaystyle e 组成的群 平凡群 e displaystyle e 則稱之為单群 例子 编辑有限单群 编辑 循环群G Z 3Z 即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群 这是因为 若H 是这个群的一个子群 则它的阶一定是群G 的阶3的约数 因为3是素数 所以H 只能是G 或者平凡群 另一方面 群G Z 12Z就不是单群 因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群 且12为合数 故很容易找到它的一个非平凡正规子群 例如 由模12余0 4 8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群 类似地 整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群 由偶数集2Z和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群 1 按照上面的方法可以证明 阿贝尔单群只有素数阶循环群 最小的非阿贝尔单群是交错群 A 5 displaystyle A 5 它的阶是60 而且可以证明每一个阶为60的单群都与 A 5 displaystyle A 5 同构 2 第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群P S L 2 7 displaystyle mathrm PSL 2 7 它的阶是168 可以证明 阶为168的单群都与 P S L 2 7 displaystyle mathrm PSL 2 7 同构 3 4 P S L 2 7 displaystyle mathrm PSL 2 7 是有限域上的典型群的一个例子 它也是一个有限阶李群 除了素数阶循环群 交错群和有限阶李群 包括典型群和例外或缠绕李群 之外的有限单群统称为散在群 详见有限单群分类 无限阶单群 编辑 无限阶交错群 即由整数的所有偶置换组成的群A displaystyle A infty 是单群 另一个无限阶单群的例子是域F displaystyle F 上的射影特殊线性群P S L n F displaystyle mathrm PSL n F 其中 n 3 displaystyle n geq 3 相比之下 要构造有限生成的无限阶单群就困难得多 最早的例子由格雷厄姆 希格曼 英语 Graham Higman 提出 它是希格曼群 英语 Higman group 的子群 5 其它的例子包括湯普森群 T 和 V 有限表现无挠 torsion free 的无限单群被伯格 莫泽什 Burger Mozes 构建 6 分类 编辑到目前为止 未有对一般单群进行分类的方法 有限单群 编辑 主条目 有限单群分类 有限单群是很重要的 因为在一定意义上 它们是所有有限群的 基本组成部分 有点类似于质数是整数的基本组成部分 有限单群的结构 编辑法伊特 湯普森定理声称 所有的奇数阶群都是可解群 因此 除素数阶循环群外 所有有限单群的阶都是偶数 群的非单性判据 编辑西羅测试 设n 为一正合数 p 是它的一个素因子 若在n 的所有约数中只有 1 模p 同余于 1 则不存在阶为n 的单群 证明 如n 为一素数幂 则阶数为n 的群有非平凡的中心 7 因而不是单群 若n 不是素数幂 则阶数为n 的群的每一个西罗子群都是真子群 由西羅第三定理可知 阶数为n 的群的西罗p 子群的个数模p 同余于1且为n 的约数 但由上面的假设 这样的数只有1 这表明该群只有一个西罗p 子群 因此 根据西罗定理 该西罗子群是正规子群 根据上面的讨论 它又是一个真子群 从而它是阶数为n 的群的一个非平凡正规子群 所以阶数为n 的群不是单群 另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射 因為對於一個群G displaystyle G 而言 其子群H displaystyle H 是正規子群 當且僅當H displaystyle H 是某個關於G displaystyle G 的同態映射的核 重要性 编辑 单群 之 單 在於它們不能再化約為較容易處理的群 因為正規子群 H displaystyle H 可以對將 G displaystyle G 的一部分研究化約為對商群 G H displaystyle G H 與 H displaystyle H 的研究 而對单群無法行此化約 有限单群之於有限群論 一如素數之於整數論 它們可以被視為有限群的基本構件 参阅 编辑特征单群 英语 Characteristically simple group 准单群 英语 Quasisimple group 有限单群列表 英语 List of finite simple groups 参考文献 编辑 Knapp 2006 p 170 Rotman 1995 p 226 Rotman 1995 p 281 Smith amp Tabachnikova 2000 p 144 Higman Graham A finitely generated infinite simple group Journal of the London Mathematical Society Second Series 1951 26 1 61 64 ISSN 0024 6107 MR 0038348 doi 10 1112 jlms s1 26 1 59 M Burger and S Mozes Lattices in product of trees Publ Math IHES 92 2000 pp 151 194 例如 参见P 群里的证明教科书 编辑Knapp Anthony W Basic algebra Springer 2006 ISBN 978 0 8176 3248 9 Rotman Joseph J An introduction to the theory of groups Graduate texts in mathematics 148 Springer 1995 ISBN 978 0 387 94285 8 Smith Geoff Tabachnikova Olga Topics in group theory Springer undergraduate mathematics series 2 Springer 2000 ISBN 978 1 85233 235 8 外部链接 编辑simplicity of the alternating groups PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 单群 amp oldid 75950536, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
