交错群, 数学中, alternating, group, 是一个有限集合偶置换之群, 集合, 上的称为, 个字母上的, 记做, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同态, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循环群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限单群分类, 循环群, 散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特殊线性群, 正交群, 特殊正交群, 酉. 数学中 交错群 alternating group 是一个有限集合偶置换之群 集合 1 n 上的交错群称为 n 阶交错群 或 n 个字母上的交错群 记做 An 或 Alt n 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编例如 4 阶交错群是 A4 e 123 132 124 142 134 143 234 243 12 34 13 24 14 23 参见轮换记法 目录 1 基本性质 2 共轭类 3 自同构群 4 特殊同构 5 子群 6 群同调 6 1 H1 阿贝尔化 6 2 H2 舒尔乘子 7 参考文献基本性质 编辑对 n gt 1 群 An 是对称群 Sn 的交换子群 指数为 2 从而有n 2 个元素 它是符号群同态 sgn Sn 1 1 的核 群 An 是阿贝尔的当且仅当 n 3 单当且仅当 n 3 或 n 5 注意 A3 事实上是 3 阶单群 A1 与 A2 是 1 阶群 一般不称为单的 而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单 A5 是最小非阿贝尔单群 阶数为 60 也是最小不可解群 共轭类 编辑在对称群中 An 的共轭类由有相同轮换型的元素组成 但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成 这里长为 1 的轮换包含在轮换型中 则对这样的轮换型恰有两个共轭类 Scott 1987 11 1 p299 例如 两个置换 123 与 132 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭 但在 A3 中不共轭 置换 123 45678 与其逆 132 48765 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭 但在 A8 中不共轭 自同构群 编辑更多信息 对称群和交错群的自同构 n displaystyle n Aut A n displaystyle mbox Aut A n Out A n displaystyle mbox Out A n n 4 n 6 displaystyle n geq 4 n neq 6 S n displaystyle S n C 2 displaystyle C 2 n 1 2 displaystyle n 1 2 1 displaystyle 1 1 displaystyle 1 n 3 displaystyle n 3 C 2 displaystyle C 2 C 2 displaystyle C 2 n 6 displaystyle n 6 S 6 C 2 displaystyle S 6 rtimes C 2 V C 2 C 2 displaystyle V C 2 times C 2 对 n gt 3 除了 n 6 An 的自同构群就是 Sn 的自同构群 其内自同构群为 An 外自同构群为 Z2 外自同构来自用一个奇置换共轭 对 n 1 与 2 自同构群平凡 对 n 3 自同构群是 Z2 其内自同构群平凡外自同构群为 Z2 A6 的外自同构群是克莱因四元群 V Z2 Z2 这也是 S6 的自同构群 A6 另外的自同构将三轮换 比如 123 与 32 型元素 比如 123 456 交换 特殊同构 编辑在小交错群与小李型群之间有一些同构 他们是 A4 同构于 PSL2 3 以及手征性四面体对称之对称群 A5 同构于 PSL2 4 PSL2 5 以及手征性二十面体对称之对称群 A6 同构于 PSL2 9 与 PSp4 2 A8 同构于 PSL4 2 更显然有 A3 同构于循环群 Z3 以及 A1 与 A2 同构于平凡群 也是 SL1 q PSL1 q 对任何 q 子群 编辑A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群 给定一个有限群 G 和 G 的一个因子 d 不一定存在 G 的一个 d 阶子群 群 G A4 阶为 12 没有 6 阶子群 有三个元素的子群 由三个对象的轮换旋转生成 再加上任何一个其它元素生成整个群 群同调 编辑交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论 英语 stable homotopy theory 中的稳定性 对足够大的 n 是常值 H1 阿贝尔化 编辑 第一同调群与阿贝尔化相同 因为 A n displaystyle A n 除去已经提到的例外是完全群 完滿群 从而有 H 1 A 3 Z A 3 ab A 3 Z 3 displaystyle H 1 A 3 mathbf Z A 3 text ab A 3 mathbf Z 3 H 1 A 4 Z A 4 ab Z 3 displaystyle H 1 A 4 mathbf Z A 4 text ab mathbf Z 3 H 1 A n Z 0 displaystyle H 1 A n mathbf Z 0 for n 1 2 displaystyle n 1 2 and n 5 displaystyle n geq 5 H2 舒尔乘子 编辑 当 n 等于 5 或大于等于 8 时 交错群 An 的舒尔乘子 英语 Schur multiplier 是 2 阶循环群 在 6 和 7 时有一个三重覆盖 则舒尔乘子的阶数为 6 H 2 A n Z 0 displaystyle H 2 A n mathbf Z 0 for n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 H 2 A n Z Z 6 displaystyle H 2 A n mathbf Z mathbf Z 6 对 n 6 7 displaystyle n 6 7 H 2 A n Z Z 2 displaystyle H 2 A n mathbf Z mathbf Z 2 对 n 4 5 displaystyle n 4 5 與 n 8 displaystyle n geq 8 参考文献 编辑Scott W R Group Theory New York Dover Publications 1987 ISBN 978 0 486 65377 8 徐明曜 有限群导引 上册 第二版 北京 科学出版社 2001 ISBN 7 03 007119 0 取自 https zh wikipedia org w index php title 交错群 amp oldid 59981477, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
