换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义： ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .}$ 

类似地可以定义高阶的导群。

${\displaystyle G^{(0)}=G}$ 

${\displaystyle G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$ 

可以证明，如果存在自然数 n 使得 ${\displaystyle G^{(n)}={e}}$  ，那么G是可解群。

商群${\displaystyle G/[G,G]}$ 是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

${\displaystyle [G,G]=G}$ 的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

1. ${\displaystyle G^{\prime }}$ 是${\displaystyle G}$ 的正规子群。
2. G对于自同构稳定：${\displaystyle \forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }}$ 。
3. 如果H是G的子群，那么${\displaystyle H^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$ 。
4. ${\displaystyle \pi :G_{1}\to G_{2}}$ 是一个满同态，那么${\displaystyle \pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }}$ 。
5. 如果H是G的正规子群，那么${\displaystyle G/H}$ 是交换群，当且仅当${\displaystyle G^{\prime }\subseteq H}$ 。

   证明：${\displaystyle \pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha}$ 是一个满同态，

   所以，${\displaystyle G/H}$ 是交换群

   ${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })}$ 

   ${\displaystyle \Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H}$ 

6. ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$ ，所以${\displaystyle G^{ab}=G/G^{\prime }}$  可交换。

交换子群的例子

• 4次交替群${\displaystyle A_{4}}$ 的交换子群是克莱因四元群${\displaystyle V_{4}}$ 。
• n次对称群${\displaystyle S_{n}}$ 的交换子群是n次交替群${\displaystyle A_{n}}$ 。
• 四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

• 群
• 交换子
• 正规子群
• 可解群
• 伽罗瓦理论