四元群, 在群論裡, 是指一個8目的不可換群, 它常被標示為q, 且被寫成乘法的形式, 以下列的8個元素q的環圖, 每一種顏色代表連結至單位元, 之任一元素的次方, 例如, 紅色的環反映了i2, i和i4, 1的事實, 紅環亦反映了, i和, 1之事實, 這裡, 1是單位元素, 1且對每個q內的a, 剩下的乘法律能由下列的關係獲得, displaystyle, q的凱萊表如下, 1需注意的是, 此一群為非可換的, 如ij, q有著漢彌爾頓群較不常見的性質, 每一個q的子群都是其正規子群, 但這個群不是可換的, 每一. 在群論裡 四元群是指一個8目的不可換群 它常被標示為Q 且被寫成乘法的形式 以下列的8個元素Q的環圖 每一種顏色代表連結至單位元 1 之任一元素的次方 例如 紅色的環反映了i2 1 i3 i和i4 1的事實 紅環亦反映了 i 2 1 i 3 i和 i 4 1之事實 Q 1 1 i i j j k k 這裡 1是單位元素 1 2 1且對每個Q內的a 1 a a 1 a 剩下的乘法律能由下列的關係獲得 i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle i 2 j 2 k 2 ijk 1 Q的凱萊表如下 1 i j k 1 i j k1 1 i j k 1 i j ki i 1 k j i 1 k jj j k 1 i j k 1 ik k j i 1 k j i 1 1 1 i j k 1 i j k i i 1 k j i 1 k j j j k 1 i j k 1 i k k j i 1 k j i 1需注意的是 此一群為非可換的 如ij ji Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質 每一個Q的子群都是其正規子群 但這個群不是可換的 每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q 在抽象代數裡 可以造出一個其基底為 1 i j k 的實四維向量空間 且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數 其即為一個稱為四元數的除環 需注意的是 這並不是在Q上的群代數 其應該是8維的 相反地 亦可以先由四元數開始 再 定義 出由八個元素 1 1 i i j j k k 所組成之乘法子群做為四元群 i j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來 Q有著下列的展現 x y x 4 1 x 2 y 2 y x y 1 x 1 displaystyle langle x y mid x 4 1 x 2 y 2 yxy 1 x 1 rangle 其中可以取成i x j y及k xy Q的中心及交換子群為 1 其商群 Q 1 會同構於克萊因四元群V Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心 且因此也會同構於克萊因四元群 Q的全自同構群會同構於對稱群S4 Q的外自同構群因此為S4 V 其會同構於S3 四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF 3 上之二維向量空間的八個非零元素 關於其圖像 請見圖像化GL 2 p 页面存档备份 存于互联网档案馆 廣義四元群 编辑一個群若被稱為廣義四元群 則表示其有一個展現 x y x 2 n 1 1 x 2 n 2 y 2 y x y 1 x 1 displaystyle langle x y mid x 2 n 1 1 x 2 n 2 y 2 yxy 1 x 1 rangle nbsp 其中n為大於3的整數 此一群的目為2n 原本的四元群為n 3時的特例 廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群 其產生子為 x e 2 p i 2 n 1 displaystyle x e 2 pi i 2 n 1 nbsp y j displaystyle y j nbsp 廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類 廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質 可證明一具有此性質 每個可換子群都是循環的 之有限p 群若不是循環群就是廣義四元群 另見 编辑四元數 克萊因四元群 雙循環群 赫爾維茨四元數 十六胞 取自 https zh wikipedia org w index php title 四元群 amp oldid 63783957, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,