^Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (编), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896
有限域, 在数学中, 英語, finite, field, 或伽罗瓦域, 英語, galois, field, 为纪念埃瓦里斯特, 伽罗瓦命名, 是包含有限个元素的域, 与其他域一样, 是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合, 最常见的例子是当, 为素数时, 整数对, 取模, 的元素个数称为它的阶, 在许多数学和计算机科学领域的基础, 包括数论, 代数几何, 伽羅瓦理論, 有限幾何學, 密码学和编码理论, 目录, 定理, 存在性與唯一性, 弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論, 一些小型的, 参考文献, 参见定. 在数学中 有限域 英語 finite field 或伽罗瓦域 英語 Galois field 为纪念埃瓦里斯特 伽罗瓦命名 是包含有限个元素的域 与其他域一样 有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合 有限域最常见的例子是当 p 为素数时 整数对 p 取模 有限域的元素个数称为它的阶 有限域在许多数学和计算机科学领域的基础 包括数论 代数几何 伽羅瓦理論 有限幾何學 密码学和编码理论 目录 1 定理 2 存在性與唯一性 3 弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論 4 一些小型的有限域 5 参考文献 6 参见定理 编辑有限域的阶 有限域中元素的个数 是一个素数的幂 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的p n displaystyle p n 阶的有限域 并且所有元素都是方程 x p n x 0 displaystyle x p n x 0 的根 该域的特征为p 有限域的乘法群是循环群 即若F是有限體 则存在a F displaystyle alpha in F 使得F x F x 0 a displaystyle F x in F x neq 0 langle alpha rangle 有限域是完美域 即它的任何代数扩张一定是可分扩张 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张 并且对应的伽罗瓦群是循环群 存在性與唯一性 编辑設 q pn 為質數冪 F 為多項式 P X q X displaystyle P X q X 於質數域 GF p 上的分裂域 換言之 F 是最低階的有限域 使得 P 在 F 內有 q 個互異的根 注意 P 的形式導數 英语 formal derivative 為 1 0 displaystyle 1 neq 0 因此 P 無重根 利用二項式定理 可證恆等式 x y p x p y p displaystyle x y p x p y p 在特徵為 p 的域上成立 中一新生之夢 此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根 同時 P 的根的乘法逆元仍是根 因此 P 的根構成一個 q 階的域 由 F 的最小性 可知此域即為 F 由於分裂域在同構意義下唯一 q 階域也在同構意義下唯一 已證其為 P X q X displaystyle P X q X 的分裂域 而且 若域 F 有一個階為 q p k displaystyle q p k 的子域 則其元素恰為 X q X displaystyle X q X 的 q 個根 所以 F 不能包含另一個階為 q 的子域 E H 摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理 可作為本節的總結 1 有限域的階為質數冪 對任意一個質數冪 q 都存在 q 階的域 並且任意兩個 q 階的域都同構 該些域中 任意的元素x 都滿足x q x displaystyle x q x dd 且多項式 Xq X 可分解成X q X a F X a displaystyle X q X prod a in F X a dd dd 由此可知 GF pn 有同構於 GF pm 的子域當且僅當 m 整除 n 該情況下 僅有唯一的子域與 GF pm 同構 多項式 Xpm X 整除 Xpn X 也是當且僅當 m 整除 n 弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論 编辑設 p 為質數 q pn 為質數冪 在 GF q 中 恆等式 x y p xp yp 說明映射 f x x p displaystyle varphi x mapsto x p 是 GF q 上 GF p 線性的域自同構 其保持子域 GF p 的元素 該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構 得名於费迪南德 格奥尔格 弗罗贝尼乌斯 記 fk 為 f 的 k 次疊代 則 f k x x p k displaystyle varphi k x mapsto x p k 此前已證明 fn 為恆同映射 若 0 lt k lt n 則自同構 fk 並非恆同映射 否則多項式 X p k X displaystyle X p k X 就有多於 pk 個根 矛盾 此外 GF q 並無其他 GF p 自同構 換言之 GF pn 恰有 n 個 GF p 自同構 其為 I d f 0 f f 2 f n 1 displaystyle mathrm Id varphi 0 varphi varphi 2 ldots varphi n 1 以伽羅瓦理論觀之 GF pn 是 GF p 的伽羅瓦擴展 且其伽羅瓦群為循環群 弗羅貝尼烏斯映射為滿射 因此任意一個有限域都是完美域 英语 perfect field 一些小型的有限域 编辑F2 0 10 0 11 1 0 0 10 0 01 0 1F3 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1F4 考虑x 2 x 1 0 displaystyle x 2 x 1 0 方程的根不在F2中 記其中一根為A 則A 2 A 1 0 displaystyle A 2 A 1 0 且另一根為 B A 2 displaystyle B A 2 0 1 A B0 0 1 A B1 1 0 B AA A B 0 1B B A 1 0 0 1 A B0 0 0 0 01 0 1 A BA 0 A B 1B 0 B 1 A参考文献 编辑 Moore E H A doubly infinite system of simple groups E H Moore et al 编 Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World s Columbian Exposition Macmillan amp Co 208 242 1896 近世代数 参见 编辑域论 取自 https zh wikipedia org w index php title 有限域 amp oldid 66165330, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,